例谈中考数学中创新性填空题的解法

黄文光

以能力为立意，重视知识的发生发展过程，突出理性思维，是中考数学命题的指导思想，而重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计问题，则是中考命题的创新主体．在最近几年的中考数学试卷中，填空题成了创新改革题型的“实验田”，其中出现了不少以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有一定深度和明确指导导向的创新题型，使中考试题充满了活力．本文精选了几道中考试题，并予以归类整理，供大家参考.

一、开放型

开放型填空题虽然考查的都是基础知识，但是留给学生较大的思考空间，不是被动地套用解题模式，而是在问题情境中创造性地解决问题．主要有三类开放题：条件开放题，结论开放题及条件和结论都开放的试题，而这类题的答案往往不唯一. 解题时应合理运用分类讨论以及特殊化等数学思想方法．

例１ 已知点Ｐ（ｘ，ｙ）位于第二象限，并且ｙ ≤ ｘ ＋ ４，ｘ，ｙ为整数，写出一个符合上述条件的点Ｐ的坐标＿＿＿＿＿＿＿．

解析 因为点Ｐ位于第二象限，所以有ｘ ＜ ０，ｙ ＞ ０．因为ｙ ≤ ｘ ＋ ４，所以ｘ ＋ ４ ＞ ０，解得ｘ ＞ －４. 又因为ｘ ＜ ０，所以－４ ＜ ｘ ＜ ０，因为ｘ是整数，所以ｘ只能取－３，－２，－１．当ｘ ＝ －１时，０ ＜ ｙ ≤ ｘ ＋ ４ ＝ ３，所以ｙ为１或２或３，此时符合要求的点Ｐ为（－１，１），（－１，２），（－１，３）．当ｘ ＝ －２时，０ ＜ ｙ ≤ ｘ ＋ ４ ＝ ２，所以ｙ为１或２，此时符合要求的点Ｐ为（－２，１），（－２，２）．当ｘ ＝ －３时，０ ＜ ｙ ≤ ｘ ＋ ４ ＝ １，所以ｙ为１，此时符合要求的点Ｐ为（－３，１）．综上所述，符合条件的点有６个：（－１，１），（－１，２），（－１，３），（－２，１），（－２，２），（－３，１）．写出其中一个就行．

评注 这道开放题留给学生很大的想象空间，充分显示出思维的多样性．同时也体现了不同学生对数学学习的个性化．教学中要引导学生多角度、多层次、多渠道地解答开放性的问题，培养学生的个性，从而全方位地培养学生的创造能力．

二、概括型

这类开放题主要考查学生从一段材料中总结提炼其中心或主题的能力．这类问题在中考中有逐年增多的趋势．

例２ 先阅读，再填空解答：方程ｘ２ － ３ｘ － ４ ＝ ０的根是ｘ１ ＝ －１，ｘ２ ＝ ４，则ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ３，ｘ１ｘ２ ＝ －４；方程3ｘ２ ＋ １０ｘ ＋ ８ ＝ ０的根是ｘ１ ＝ －２，ｘ２ ＝ －■，则ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ －■，ｘ１ｘ２ ＝ ■．

（１）方程２ｘ２ ＋ ｘ － ３ ＝ ０的根是ｘ１ ＝ ＿＿＿＿＿，ｘ２ ＝ ＿＿＿＿＿，则ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ＿＿＿＿，ｘ１ｘ２ ＝ ＿＿＿＿＿；

（２）若ｘ１，ｘ２是关于ｘ的一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０，且ａ，ｂ，ｃ是常数）的两个实数根，那么ｘ１ ＋ ｘ２，ｘ１ｘ２与系数ａ，ｂ，ｃ的关系是：ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ＿＿＿＿＿，ｘ１ｘ２ ＝ ＿＿＿＿＿；

（３）若ｘ１，ｘ２是关于ｘ的一元二次方程ｘ２ ＋ ｘ － ３ ＝ ０的两个根，根据（２）所得结论，那么ｘ１２ ＋ ｘ２２ ＝ ＿＿＿＿＿．

解析 （１）-■，１，-■，-■ （２）-■，■

（３）根据（２）可知，ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ －１，ｘ１ｘ２ ＝ －３，所以ｘ１２ ＋ ｘ２２ ＝ （ｘ１ ＋ ｘ２）２ － ２ｘ１ｘ２ ＝ （－１）２ － ２ × （－３） ＝ ７．

评注 此题要求学生在充分读懂材料的基础上，概括出数学思想方法．课程标准指出学生是数学学习的主人，自主学习是数学学习的主要方式. 应让学生学会自主学习，通过分析、比较和概括等数学方式对知识进行归纳、总结，从而使问题得到解决．

三、图表型

图表型填空题要求学生能够根据图表中提供的信息发现规律，抓住主要数学特点进行研究，然后再定量分析．

例３ 为了估计某市空气质量情况，某同学在３０天里作了如下记录.

解 由题意知，该城市在一年中空气质量达到良以上（含良）天数的百分率为■ × 100% ＝ ８０%，据此得该城市在一年中空气质量达到良以上（含良）天数为３６５ × 80% ＝ ２９２（天）．

评注 生活中每个人都会面对各种各样的图表信息，并对其做思考、抉择，或舍弃，或采用．本例就是密切联系社会问题，将题目信息设计在图表中，综合考查分析、联想、加工处理信息的能力，突出“学习有用的数学”这一要求．

四、新定义型

“新定义型”填空题主要指即时定义新概念、新公式、新运算、新法则等，学生解题时要能够用所学过的知识和方法理解“新定义”，做到“化生为熟”．

例４ 如图1，在平面内，两直线ｍｌ，ｍ２相交于Ｏ，对于平面内任意一点Ｍ，若Ｐ，Ｑ分别是Ｍ到直线ｍ１，ｍ２的距离，则称（Ｐ，Ｑ）为点Ｍ的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（２，１）的点共有 个．

解析 如图1，同一平面内到直线ｍ１，ｍ２的距离为２的直线有两条ａ１，ａ２，到直线ｍ１，ｍ２的距离是１的直线也有两条ｂ１，ｂ２，这四条直线有四个交点Ｍ１，Ｍ２，Ｍ３，Ｍ４，所以符合条件的点有四个．

评注 “新定义”填空题考查了学生的阅读能力、数学迁移能力以及运用数学方法解决实际问题的能力，是一种较高层次的要求．解答此类试题的关键是掌握新规则，然后运用归纳和类比的方法使问题得到解决．此类设计题体现了新课程“知识立意向能力立意过渡”的要求，旨在培养学生综合运用知识解决实际问题的能力，是“学生可持续发展”理念的体现．

这几种新题型清雅、新颖，新课程标准已经化为新的数学理念和教学方式，警示数学教学必须改变过去单一的教学方式和学习方法，要重视学生发现问题和解决问题的能力，重视知识过程的学习，在培养学生创新意识和应用能力上有进一步突破，使学生学习具有开放性、探索性和挑战性，促进学生全面、持续、和谐的发展.