“探索勾股定理”教学设计

蔡国忠

《数学课程标准》指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者. ”基于这个理念，我们应把课堂还给学生，让学生成为数学学习的真正主人. 教师的任务是给学生提供数学学习的机会和空间，引领学生积极合作交流，努力自主探索，不断创新实践，使学生在学习知识的同时提高自己的探索能力和创新能力.

下面就浙教版八年级上册第二章第六节“探索勾股定理”具体分析教学设计.

一、教学目标

１． 知识目标：通过学习，让学生掌握勾股定理，并且能够运用勾股定理解决实际问题.

２． 能力目标：通过探索勾股定理，让学生学会探索的基本方法，提高学生的探索能力.

３． 情感目标：通过学习，让学生体验成功的喜悦，激发学生的学习积极性.

教学重点：勾股定理的探索及应用.

教学难点：勾股定理的探索及验证.

学情分析：学生经过小学到七年级的学习已经具备一定的观察、归纳和推理能力，同时在小学里已经学习了求简单基本图形的面积公式，以及图形的简单割补，因此对图形面积的计算具有一定的基础，由于在探究勾股定理的正确性时，要求学生具有较高的空间图形概念. 因此学生的现有能力与本节学习要求还有一定的差距.

二、教学过程

（一）结合生活，引入课题

利用多媒体展示生活中直角三角形的案例，如电线杆拉线、木棒斜靠在墙上、学生用的三角板等，通过图片激发学生的学习积极性. 在观看图片时教师引导学生回顾已经学过的直角三角形的相关知识，然后提出问题：“直角三角形的三边之间是否存在某种特殊的关系？”由此引入本课题，板书“探索勾股定理”.

设计意图 对直角三角形定义以及直角三角形的基本性质，学生已经有了一定的了解，这里让学生通过欣赏图片，感受数学与生活的密切联系，吸引学生的注意力，激发学生的学习积极性. 通过这个环节让学生经历将生活中的事物进行数学抽象的过程，提高学生的空间概念. 在本环节中，教师引导学生回顾已学过的相关知识，同时让学生了解本节课的主题是研究直角三角形三边之间的关系.

（二）交流合作，探究新知

１． 探索勾股定理

给每名同学发下一张白纸，以四名同学为一个小组，同学之间进行分工合作，每个学生按要求画三角形. 要求尽量准确地在纸上作出相应的一个直角三角形，两直角边长分别为：

第一名同学：３厘米和４厘米； 第二名同学：６厘米和８ 厘米；

第三名同学：５厘米和１２厘米；第四名同学：９厘米和１２厘米.

并且测量斜边的长度，结果保留整数，并通过计算填写表格.

观察表中ａ２ ＋ ｂ２与ｃ２两列的数据，你能发现直角三角形三边长之间的关系吗？

小组讨论，并且得出结论：ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２.

设计意图 通过以小组为单位合作学习，有利于加强学生的合作意识，在学习中相互合作，在合作中相互学习，取长补短. 同时通过学生动手操作，探索发现直角三角形的勾股定理，有利于提高学生的动手能力和探索发现能力. 四名同学每人作一个直角三角形，有利于在较短的教学时间内作出较多的直角三角形，从而探索出勾股定理.

２． 探究勾股定理的正确性

以小组为单位，用四块相同的直角三角板（或者四块相同的直角三角形纸片）拼一个大的正方形，其中间空出一个小的正方形，然后通过它们面积之间的关系来验证上面探究出的等量关系.

课堂预设 本环节对学生来说有一定的难度，为保证在规定时间内完成教学任务，教师应当及时引导学生操作.

当小组合作差不多时，在屏幕上展示拼凑方法有两种：图１和图２.

分析：运用等积法，图1中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加上小正方形的面积，即得：ｃ２ ＝ ４ × ■ａｂ ＋ （ｂ － ａ）２，化简，得ｃ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２.

图2中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加上小正方形的面积，即得（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ４ × ■ａｂ ＋ ｃ２，化简，得ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２.

设计意图 用直角三角形来验证勾股定理，对学生来说有一定的难度. 因此这里设计小组活动，可以发挥集体智慧的作用，避免基础较差学生因难度太大而无所事事. 同时通过本环节让学生树立“任何猜想需要通过验证后才能作为正确结论”的观念，理解勾股定理可由等积法得到验证.

３． 揭示勾股定理

在上两个环节的基础上，教师给出勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

如果直角三角形的两条直角边长为ａ，ｂ，斜边长为ｃ，则ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２.

同时介绍数学小史：勾股定理是我国最早发现的. 中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名. 由于三边都为整数的最小直角三角形的三边长为３，４，５，因此有勾三、股四、弦五之说. （勾股定理在西方称为毕达哥拉斯定理）

设计意图 这个环节旨在揭示本节课的主题：勾股定理，让学生掌握. 同时通过介绍数学小史，让学生感受中国之伟大，激发学生的爱国热情.

（三）应用发现，巩固所学

１． 人人都是“小老师”

例１ 已知△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＡＢ ＝ ｃ， ＢＣ ＝ ａ， ＡＣ ＝ ｂ，

（１）如果a = 1,b = 2，求ｃ；（答案：■）

（２）如果ａ ＝ １５，ｃ ＝ １７ 求ｂ；（答案： ８）

以同桌的两名同学为小组，在学生各自完成例题解答后，小组间相互交换批改，并且讨论遇到的问题. 如有学习困难的同学，小组成员负责帮助指导.

巩固所学：比一比谁最快.

（１）直角三角形的两直角边为６和８，则斜边为.

（答案：１０）

（２）直角三角形的两直角边为２和３，则斜边为 .

（ 答案：■）

（３）直角三角形的两条边为３和４，则这个直角三角形的第三边长为 . （答案：５或■）

设计意图 通过本例，试图让学生掌握勾股定理，并且能够运用勾股定理求直角三角形的边长，为运用勾股定理解决实际问题打下良好的基础. 这里以二人小组进行合作学习，既方便组合，提高学习效率，又有利于同学之间的相互帮助. 通过同学之间的相互探讨，可以使学习困难的学生得到及时的帮助，增强他们的学习信心，提高他们的学习积极性. 通过一组练习题，进一步巩固勾股定理和运用勾股定理进行计算，是现炒现买，尤其是已知直角三角形的两条边长，求第三边长时，有两种情况，需进行分类讨论.

２． 学以致用

例２ 如图3，从电杆离地面５米处向地面拉一条７米长的钢缆，求地面钢缆固定点Ａ到电杆底部Ｂ的距离．

设计意图 学生学习知识的目的是应用，学生学习勾股定理的目的是为了应用勾股定理解决实际问题. 因此设计本例让学生学会将学到的知识应用于实际，认识到知识来源于生活，也必将应用于生活. 同时本例也很好地呼应引入时的问题.

例３ 如图4，是一个长方形零件，根据所给尺寸（单位：毫米），求两孔中心Ａ，Ｂ之间的距离.

设计意图 本例是让学生学习如何构造出直角三角形，并且运用所学的勾股定理加以解决. 由于学生对从实际问题中抽象出数学问题的能力不是很强，教师在实际教学过程中要及时引导. 通过本例练习可以让学生掌握解决问题的方法，提高学生分析问题、解决问题的能力.

（四）课堂小结，学生主角

１． 通过本节课你学到了哪些知识？

２． 在本节课中你有哪些认识和收获？

设计意图 本小节采用了学生自主小结的方法，让学生从知识、能力和情感等多角度进行小结. 通过知识层面的小结使学生把一堂课所学的知识系统化，有利于对所学知识的巩固和掌握. 通过认识和收获的小结，可以使学生再次梳理自己的情感思维，有利于提高学生的学习积极性，激励学生的的探索精神.

三、设计反思

优秀的课堂教学的标准是通过课堂教学使各类教学目标得以圆满达成. 而要实现这个目标，一个重要环节便是教学设计，优秀的教学设计是优秀课堂教学的前提和保证. 通过本教学设计使我深深感受到要设计合作学习、自主探究的学习方式并不难，但是要设计切实可行且具有较好学习效果的教学方案，却有较大难度.

“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式. ”合作学习作为一种较为有效的学习方式，为大多数老师所推崇. 合作学习确实可以改善课堂气氛，提高学生的学习兴趣，还可以促进学生个性的发展，但是合作学习容易出现由于学生的水平不同，导致学生的参与度不均衡，基础较差的学生往往成为观众. 因此我们在进行合作学习时要合理分组、明确分工，学习内容难度适中. 同时可以引导基础较好的学生适当帮助基础较差的学生. 合作学习、自主探究在实施时还存在一个重要的问题——时间. 一节课４５分钟，不能多，教学内容也不能少. 如何在有限的时间内，用合作学习、自主探究的学习方式，让学生获得知识和能力，值得在实际教学过程中探讨研究. 如本节课中“探究勾股定理”的合作与探究，难度不大，能够顺利完成. 但是“探究勾股定理的正确性”的合作探究难度较大，学生完成有较大难度，教师在教学前应当设计较好的引导方式，在实际教学过程中合理把握教学进程，以便顺利完成教学任务.

好的教学设计需要有好的演绎者. 一个好的教学设计，只有通过教师在课堂上完美演绎，才能体现出其优秀. 因此我们在追求优秀的教学设计的同时，还应当提高自己的教学能力，完善自己的教学方法和过程，最终实现二者的完美统一.