在问题解决中教给学生数学思想方法

侯锦扬

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括. 实践证明，任何一种数学思想方法都不能很快地被学生所掌握，它与数学中的一些重要概念一样，需要学生在数学活动中积极实践，反复体验，不断积累，需要学生经历一个较长的认识过程，才能逐步地理解、掌握和应用. 数学问题的解决，离不开数学思想方法的指导、运用和创新. 数学思想方法蕴含在数学问题的解决中，因此，数学思想方法的教学可以融入问题解决的教学过程中. 教材在呈现显性的数学内容时，一般是采用逐级递进、螺旋上升的原则，但数学思想方法是隐性的，教材里看不出对其教学的递进性与上升性. 因此数学思想方法的教学应与知识教学、学生认识水平相适应，也应遵循螺旋式上升、阶梯式层次结构的原则，需要经历长期的层次化过程.

一、无痕渗透，让学生在问题解决中感知数学思想方法

“渗透”一词是比喻一种事物或势力逐渐进入到其他方面（多用于抽象事物）. 引用到教学上，“渗透”就是把某些抽象的数学思想、方法、原理等逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些数学思想、方法、原理等有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们. 思维发展心理学研究表明，小学低年级儿童的思维以形象思维为主要形式，虽然他们开始学习数学，已经由学前期的具体形象思维开始向抽象逻辑思维过渡，发展自己的抽象逻辑思维，可仍然离不开具体形象的支持. 在这个阶段，学生学习的数学知识相对简单，他们还很难掌握比较抽象的数学概念，当然也无法轻易理解数学思想方法. 但教师不能因此而放弃或削弱对低年级学生进行数学思想方法的启蒙教学. 教师应根据这一阶段学生的思维特点与认知水平，采用无形渗透的策略，让学生在解决数学问题的过程中，感知数学思想方法. 在方法上注意有机结合、自然渗透，要有意识地、潜移默化地启发学生感知蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法.

如分类思想的教学. 数学中每一个概念都有其特有的本质特征，小学数学中的分类思想是指根据数学本质属性的相同点和不同点，按某种标准，将研究的数学对象分成不同种类的若干部分进行分析研究的一种数学思想. 分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化、系统化、网络化. 小学数学中的问题往往比较简单，有时要解决一个比较复杂或者带有不确定性的问题时，把这个问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行分析讨论，得出问题的答案，这就是问题解决中的分类讨论法. 分类思想贯穿于整个数学的内容中. 教学时，应根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富其内涵.

例如“整理房间”（北师大版小学数学教科书一年级上册）的教学，“类”和“分类”对一年级刚入学不久的学生来说是比较抽象的，认识它们不能靠定义、靠说理，应该联系生活实际，引导学生在活动中体验. 教学时，首先，从学生熟悉的“房间的场景”入手，师：（如图1）这是小刚的房间，你想说什么？学生通过观察，说出自己的感受，从而产生整理房间的需要. 接着，师：你想怎样帮助小刚整理房间？说说为什么要这样整理. 初步体会分类的含义和方法，体会分类的标准不同，分类的结果也不同. 比如，根据物品的用途不同进行分类，可以分为：① 学习用品；② 穿的衣物；③ 玩具；④ 体育用品等. 学生在这样的活动中，其思维过程首先是观察，其次是比较. 经过比较之后，进行排列. 排列的过程就是按照一定的标准，对事物进行有序划分和组织的过程. 这样一种划分和组织的结果就形成了分类.

分类思想在小学数学教材中有着重要的应用，在“空间与图形”中有角的分类、三角形的分类、四边形的分类等. 在“数与代数”中更多，有式的分类、数的分类等. 如自然数，依据“是否是２的倍数”，可分为奇数与偶数；依据“因数的个数”，可分为１、质数和合数等. 通过学习，让学生初步明白：分类是根据概念的某一属性进行的，分类的标准不同，分类的结果可能不同，被分的概念不能重复分，即某概念不能既是这一类同时又是另一类，被分的概念还要全部分掉不能遗漏. 分类思想在问题解决中也有广泛的应用，如“小明和小红在校门口分手，７分钟后他们同时到家. 小明平均每分钟走４５米，小红平均每分钟走３５米. 小明家与小红家相距多少米？”这个问题要引导学生用分类的思想进行解决. 第一，必须考虑小明家、学校、小红家是否在一条直线上. 如果不在一条直线上，结果就无法确定. 第二，如果在一条直线上，还要分成两种情况：① 小明家、小红家在学校的两侧；② 小明家、小红家在学校的同一侧. 这样，学生在问题解决中加深了对分类思想的领悟.

数学中的分类有现象分类和本质分类两种，前一种分类是以分类对象的外部特征、外部关系为根据的，后一种分类是按对象的本质特征、内部联系进行分类的. 在小学数学教材中渗透了分类思想，教学中，应以知识为载体，教给学生分类的方法，发展逻辑思维力.

二、有意点明，让学生在问题解决中理解数学思想方法

对数学思想方法的理解有一个过程，对数学思想方法的教学，也不期望一次性完成，而应在不同内容、不同年级学生的教学活动中，以不同的形式交替出现，使学生对数学思想方法有初步的理解. 进入小学中、高年级，学生自身数学知识不断增加，认知水平进一步提高，抽象逻辑思维能力得到发展. 随着对数学思想方法渗透的不断深入，隐藏在数学知识背后的思想方法就会逐渐引起学生的注意和思索，以至产生某种程度的领悟. 当经验和领悟积累到一定程度，这种事实上已被反复感知的思想方法就会凸现出来. 这时，对数学思想方法的教学不再“犹抱琵琶半遮面”了，应充分考虑到学生的年龄特征、心理活动水平，在问题解决的教学中择机有意识地进行点明，比较明确地引导学生理性认识数学思想方法，最终使得学生对数学思想方法有较为深刻的理解.

如化归思想的教学. 化归是解决数学问题常用的思想方法. “化归”包含“转化”和“归结”两种含义，即为了谋求一个问题的解决，把这个未知解法的问题进行转化，使之归结为一个熟知的或者较容易解决的或者已经能够解决的新问题，通过对新问题的解决，来求得原问题的解决. 值得注意的是，在小学阶段，要保证被转化后得到的结果仍是原问题的结果，就是要求转化过程中的前后是充分必要的，即等价转化. 化归是基本而典型的数学思想，它蕴含在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”以及“综合实践活动”四大知识领域中，在问题解决中有广泛的运用. 任何数学问题的解决过程，都是一个由未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程. 因此，在问题解决中教给学生“化归思想”是非常重要的.

在计算教学中，化归思想的应用很广泛. 如两位数乘两位数可分解、化归为两位数乘一位，小数除法通过“商不变性质”可化归为除数是整数的除法，异分母分数加减法可化归为同分母分数加减法，异分母分数比较大小通过“通分”可化归为同分母分数比较大小，分数除法可化归为分数乘法等. 下面结合教学实例，谈谈在问题解决中如何教给学生化归思想.

例如，“小数除法”（人教版小学数学五年级上册）的教学. 出示问题（如图2），让学生列出横式７．６５ ÷ ０．８５和竖式０．８５■.

师：你们试着计算，看看会遇到什么困难.

学生尝试后，对商要不要加小数点，该点在什么位上，产生了不同的看法. 有的认为可以与被除数的小数点对齐，有的认为应该与被除数的末位对齐. 老师不要忙于下结论，可把题目稍作改动，变为８．５■，学生经验算后马上否定了上述两种看法.

师：你们找一找原因，看问题出在什么地方？

引导学生与上节课学过的内容进行比较，学生经过讨论思考后，找出了问题症结所在，即“除数也是小数”. 这可称得上是学习上的新发现.

师：怎么办呢？若有困难，再进一步点拨，只要把除数怎样，就有办法计算？

生：化小数除数为整数除数.

此时，解决问题的难点已经突破. 怎样化小数除数为整数除数虽是重点，但并不难，根据商不变性质，只要把除数和被除数同时扩大到原来的１０倍、１００倍……就能把小数除数化成整数除数，问题得到彻底解决. 在问题解决的过程中，教师没有硬生生地告诉学生要使用什么思想方法去解决问题，让学生被动地接受，而是引导学生对问题进行分析，查找问题产生的原因，确定问题症结所在，再引导学生探索解决问题的途径. 学生自然想到了用转化的方法解决问题，既圆满解决了问题，又领悟了运用数学思想方法解决问题的功效.

在“空间与图形”的教学中，化归思想的应用更为广泛. 例如，“平行四边形的面积”（人教版小学数学五年级上册）的教学，就是通过割、移、拼使一种图形转化为和它等积的另一种图形，运用这种“转化”的方法可以达到解决问题的目的. 在随后学习的三角形、梯形、圆的面积计算中，都是通过剪拼的方法，把要研究的图形转化成前面已学过的图形来推导出它的面积公式. 这样，学生探索并体会了所学各种多边图形的特征、图形之间的关系、图形之间的转化，掌握了平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式及公式之间的关系，还体验了图形的平移、旋转以及转化的数学思想方法. 教师在引导学生解决问题、掌握基础知识的同时，关注数学思想方法的教学，学生在尝试运用转化思想的过程中，体验了这种思想的实质，强化了自觉运用数学思想方法的意识.

三、引导应用，让学生在问题解决中领悟数学思想方法

数学思想方法存在于问题解决之中，数学问题的解决，实质上是问题不断转化和数学思想反复应用的过程. 到了高年级，学生运用数学思想方法解决数学问题的实践机会增多了，这时，教师应积极引导学生运用某种数学思想方法进行探索和思考，以求得问题解决. 同时，要注意引导学生在解决问题之后进行归纳、反思，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的. 也就是说，数学教学在使学生初步领悟了某些数学思想方法的基础上，还要积极引导学生参与数学问题的解决过程，引导学生在问题解决的过程中运用数学思想方法，这样才能让学生真正理解和领悟数学思想方法.

如函数思想的教学.函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映，函数思想的本质是变量之间的对应. 应用函数思想能从运动变化的过程中寻找联系，把握特点与规律，从而选择恰当的数学方法得以解决问题. 在小学阶段，虽然没有出现“函数”这个概念，但安排了许多与函数有关联的教学内容.

在低年级，通过填图（如图3）等形式，将函数思想渗透在其中. 还可以设计一些能移动的卡片，让算式中的数“动”起来. 学生解决问题后应引导他们观察什么没变，什么变了. 又如，“平均分”（人教版小学数学二年级下册）的教学，当学生初步理解了“平均分”的含义后，教师让学生解决一个“分礼物”的问题：１２个小礼物，平均分给一些小朋友，每人可以分到多少个？这是一个开放又具有挑战性的问题.

师：这些礼物可以平均分给几个小朋友呢？

生：２个，３个，４个，６个，１２个.

师：每人又可以分到几个呢？同桌合作，利用你们手中已有的工具分分看，并想办法来填一填.

把１２个礼物平均分给（２）个人，每人可以分到（６）个.

把１２个礼物平均分给（３）个人，每人可以分到（４）个.

把１２个礼物平均分给（４）个人，每人可以分到（３）个.

把１２个礼物平均分给（６）个人，每人可以分到（２）个.

把１２个礼物平均分给 （１２）个人，每人可以分到（１）个.

如果教学到此为止，老师让学生计算完毕、答案正确就满足了，那么学生仅仅是解决了一个问题. 如果以函数思想的高度来设计教学，教师一定不满足，会继续进行启发引导.

师：仔细观察，什么没变？什么变了？

师：对，分的礼物的个数没变，平均分给的人数变了，每人分到的个数也变了. 也就是说，相同的数量平均分的份数越多，每份所得到的数量就越少.

学生借助已有的学具进行平均分礼物，进而完成分礼物的练习题组，观察什么变了，什么没变，然后发现：同样的数量平均分的份数越多，每份得到的就越少. 这无形中渗透了“被除数不变，除数变大，商变小”这一函数思想.

进入小学中、高年级，学生学习和掌握了许多的数量关系，如单价、数量和总价之间的关系，路程、时间和速度的关系，工作量、工作效率和工作时间的关系……其实当这些数量关系中的某一种量固定后，另外两种量在变化时就构成了函数. 这些数量关系有的还可以用计算公式来表示，如，s ＝ ｖｔ，当s一定时，ｖ越大，ｔ就越小. 这些公式实际上就是一些简单的函数关系式，教师可以利用数学中的公式进一步进行函数思想的教学. 到了六年级，正比例、反比例知识涉及两种相关联量之间的关系，实际上也是一种函数关系.

如把相同体积的水倒入底面积不同的杯子中，高度和底面积的变化有什么规律？通过观察，得出：底面积越大，水的高度就越低. 因为水的体积是一定的，也就是说水的高度与底面积的乘积是一定的，这时，水的高度与底面积这两个量实际上就是一种函数关系.

通过一些具体实例，让学生感受数量的变化过程，以及量变过程中变量之间的对应关系，探索其中的变化规律，尝试根据变量的对应关系作出预测等，这样，学生随着知识的不断发展，对函数思想的理解得到不断地加深.

总之，数学思想方法与数学问题的解决是相辅相成的. 数学思想是对数学规律的理性认识，它支配着数学的实践活动，是数学问题解决的灵魂. 同时，在数学问题解决的过程中往往蕴含着一定的数学思想. 数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它的教学应与学生的认知发展水平相适应，在问题解决的活动中，按照自然渗透、初步理解、应用发展的顺序逐步完成.