巧用数学应用题发展学生的智力

吴建芳

摘要： 一元一次方程应用题的教学是小学数学教学的重要内容。不仅能使学生增长知识，更重要的是能培养学生的学习能力，发展学生的智力。

关键词： 小学数学教学应用题一题多变一题多解

一、利用行程问题、工程问题、利润率问题的统一性，化繁为简、触类旁通。

①行程问题的基本关系式是：路程=速度×时间

②工程问题的基本关系式是：工作量=工作效率×工作时间

③利润率问题的基本关系式是：利润=利率×进价

对①、②、③这三个关系式进行综合分析可以看出它们具有以下共同特征：1.这三类问题的基本关系式都是一个量等于另外两个量的积，因此可以统称为“三量问题”。2.如果把“工作效率”看做完成全部工作量的“效率”，把速度看成“速率”，那么“效率”、“速率”、“利率”这三个量都与“率”字有关，它们都是另外两个量的比值。在一元一次方程的应用题中，它们都是常量，只不过取值范围有些差别。因此，这三种关系都是正比例关系。即当速度取固定值时，路程与时间成正比；当工效不变时，工作量与工作时间成正比；当利率不变时，利润与进价成正比。

解答应用题，对学生来说，是一个搞清知识之间的内在联系，知识的规律，解答问题的方法、步骤的过程，也是培养学生推理判断、逻辑思维能力，发展智力的过程；通过对行程问题，利润率问题的分析研究，找出它们的本质区别与联系，让学生理顺思路的过程，也是进一步提高学生归纳、分析、推理、判断、运用数学知识解决问题能力的过程。

二、一题多变，打开学生的思路。

在应用题的教学过程中，首先是帮助学生理解、掌握最基本的类型题，然后通过它的发展变化，启发学生开动脑筋，掌握知识变化规律，提高解题能力。例如：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，甲、乙合做多少小时可以完成？本题是列一元一次方程解工作量问题中最基本的题型。师生利用列表搞清数量之间的关系，让学生掌握解这道题的最基本的算法。甲1小时完成的工作量即为工作效率：1/20，乙的工作效率为1/12。则甲、乙合做时的工作效率为（1/20+1/12），甲、乙合做完成了全部工作量，所以工作量为单位1。设甲、乙合做完成了全部工作所用时间为x，则利用工作量=工作效率×工作时间，列出方程：（1/20+1/12）x=1，解得x=7.5（小时）。要正确解答这种类型的题，最基本和最关键的就是要掌握工作效率、工作量、工作时间三者之间的内在联系。

但是，这种结构不是一成不变的，而是可以发展变化的。首先，可以把这道题改成：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，余下部分甲、乙合做，余下部分需要几小时完成？通过变化，学生受到启发，了解这种基本类型题可以改变，列表分析（略）。列出方程：1/20×（x+4）+1/12·x=1，解得x=6（小时）。

为了研究它的发展变化，我让学生在此基础上自编应用题。如，一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，先由甲、乙合作4小时，剩余部分由（1）由甲单独完成，需要几小时完成？（2）由乙单独完成呢？再如，一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，先由甲、乙合做4小时，甲再单独做4小时，剩余部分（1）甲单独做还需多少小时完成？（2）乙单独做还需多少小时？（3）甲、乙合做呢？这样的练习，既使学生在旧知识的基础上，由浅入深地、比较容易地掌握了较难的知识，扩大了知识面，又启发学生积极思维，开阔了思路，发展了智力，激起学生探求全部知识的欲望和浓厚的学习兴趣。

三、一题多解，提倡学生的独立见解。

解应用题的过程就是培养分析能力的过程，分析能力越强，解答应用题的方法就越多；解法越多，越有利于培养学生分析问题的能力，发展学生的智力。应该让学生用各种各样的合理的方法解题，不能只按教师的思路去想、去算。如果束缚学生的思想，那么对培养学生独立思考能力和发展他们的智力是极为有害的。一题多解对培养学生分析问题的能力是有好处的，有利于理解较复杂的应用题，进而扩展思路，增长见识。例如：一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时，逆风飞行需要3小时，求两城市之间的距离。按教科书的要求，没有直接设两城市之间的距离，而间接地设飞机在无风时的速度为x千米/时，把两城市之间的距离作为等量关系，按顺风速度=无风速度+风速、逆风速度=无风速度-风速，我们列出方程（x+24）×2=（x-24）×3，解之得x=840（千米/时），两城市之距离为3×（840-24）=2448（千米）。

这是一种算法，讲解完之后，教师问学生：有没有其他解法？教室里先是一片安静，慢慢有了讨论声。有同学提出，直接设两城市之间的距离为x千米，再由①、②两个基本关系式，得出结论：前者容易理解，应用广泛，而后者巧妙地利用了这一关系式，提出独特的见解。学生开动脑筋认真地思索，从不同角度找到了解答问题的方法。我及时地给予肯定并表扬了同学们。鼓励同学们再动脑钻研，研究其他解题方法。学生从不同解法中受到了启发，增长了见识，学到了自己一时想不到的解法，这也是培养分析同题和解决问题能力的一种好方法。

我认为应用题的教学，应从培养学生分析问题和解决问题的能力，发展学生智力着眼，抓住时机，启发引导，让学生敢于提出看法，提出不同的见解和主张，进行大胆尝试。尽管教学时多花了一点时间，但是，久而久之，效果就会事半功倍，学生的分析、推理、判断能力一定会逐步提高，智力也一定会得到发展。