单侧导数与导函数的单侧极限关系探讨

鲁亚男 张永平

摘要： 本文通过对函数的单侧导数与其导函数的单侧极限之间的关系的研究，得到结论：对于在分段点处的单侧邻域内连续，可导的函数，如果其导函数的单侧极限存在的话，则其单侧导数就等于导函数的单侧极限.从而给出了一个在满足上述情况下的求分段函数在分段点处单侧极限的方法——直接讲分段点代入导函数即可.但必须注意的是，上述条件是充分非必要条件，当导函数的单侧极限不存在时，不能用此方法来运算.反例见本文中例2.

关键词： 单侧导数单侧极限关系探讨

常见的分段函数由于它在除分段点外的小区间内的每段函数都是初等函数，因此，它们在这些小区间内都是连续，可导的.而要研究整个分段函数在其定义域内是否连续，可导，关键要看它在分段点处的连续性与可导性.其中，连续性的判别相对较简单，而分段点处可导性的判别就要用到单侧导数的定义，通常情况下，这类问题相对复杂.在学生中易出现的错误是直接将分段点代入导函数求分段导数，从而判断在该点处是否可导.对于这种做法，有时结果上是正确的，但缺少必要的理论基础.下面主要针对分段点处的连续性与可导性进行讨论.

1.有关定理

定理1：若函数f（x）在[x，x+δ上连续，在（x，x+δ）内可导，并且导函数的右极限存在，则f（x）在x处的右导数存在，且

f′（x）=f′（x）……（1）

证明：因为f（x）在[x，x+δ）上连续，在（x，x+δ）内可导

所以任取x∈（x，x+δ），有f（x）在[x，x]上连续，在（x，x）内可导

由拉格朗日中值定理，得至少？埚ξ∈（x，x），使得=f′（ξ）

因为ξ∈（x，x），所以当x→x时，有ξ→x，于是，对上式两边同时取极限，得=f′（ξ）=f′（ξ）=f′（x）

又因为f′（x）=

所以有f′（x）=f′（x）

定理2：若f（x）在（x-δ，x]上连续，在（x-δ，x）内可导，并且导函数的左极限存在，则f（x）在点x处的左导数存在，且f′（x）=f′（x）……（2）

推论：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（x）在a，b处单侧连续，则有

f′（a）=f′（x）|=f′（a）……（3）

f′（b）=f′（x）|=f′（b）……（4）

即此时函数的单侧导数的值与导函数在该点的值相等，此推论给出了一个求分段函数在分段点处的单侧导数的教为简便的方法——将分段点直接代入导函数即可.

2.应用举例

例1.已知f（x）=sinx，x<0x，x≥0，求f′（x）.

解：当x<0时，f′（x）=cosx

当x>0时，f′（x）=1

当x=0时，因为f（x）在点0的左，右邻域内连续，可导

所以，有f′（0）=1=1，f′（0）=cosx=1

于是，有f′（0）=f′（0）=f′（0）=1，所以，f′（x）=cosx，x<01，x≥0.

但值得注意的是，上述结论的条件是充分不必要的，当函数的条件不满足时，仍需要用导数的定义求导，如例2.

例2.已知f（x）=xsin，x≠00，x=0，求f′（0）.

解：由定义知，f′（0）===xsin=0

所以，f′（0）=f′（0）=f′（0）=0

而当x≠0时，f′（x）=2xsin-cos；当x=0时，f′（x）=0

显然f′（x）不存在（因为0是f′（x）的震荡间断点）

所以，此题中只能用定义来求导，而不能用本文的结论来做.

3.结论

本文给出了函数的单侧导数与其导函数的单侧极限之间的关系，找到了单侧导数存在的一个充分条件，从而得到了求分段函数在分段点处导数的一个简便方法.