圆锥曲线中的几个结论

何向东

笔者对圆锥曲线作了一些研究,得到了几个漂亮的结论,与读者分享,现说明如下.

定理1 设椭圆K:x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0),线段AB为K的动弦,分别过端点A,B作K的切线交于点P,O是K的中心,则k㎡P·k〢B=-b2[]a2.

证明 设P（x′,y′),A(x1,y1),B(x2,y2)，则椭圆在A,B两点处的切线方程分别为x1x[]a2+y1y[]b2=1,x2x[]a2+y2y[]b2=1,它们的交点为P,所以弦AB的方程为x′x[]a2+y′y[]b2=1.

故而,k〢B=-x′[]a2[]y′[]b2=-b2x′[]a2y′=-b2[]a2·x′[]y′=-b2[]a2·1[]k㎡P輐〢B·k㎡P=-b2[]a2.

推论1 设椭圆K:y2[]a2+x2[]b2=1(a>b>0),线段AB为K的动弦,分别过端点A,B作K的切线交于点P,O是K的中心,则k㎡P·k〢B=-a2[]b2.

定理2 设双曲线K：x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0),线段AB为K的动弦,分别过端点A,B作K的切线交于点P,O是K的中心,则k㎡P·k〢B=b2[]a2.

推论2 设双曲线K:y2[]a2-x2[]b2=1(a>0,b>0),线段AB为K的动弦,分别过端点A,B作K的切线交于点P,O是K的中心,则k㎡P·k〢B=a2[]b2.

推论1、定理2、推论2的证明类同于定理1,故从略.

文献中给出了如下两个结论.

定理1 椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)的过定点M(m,n)(m≠0,m≠±a)的动弦AB(不平行于焦点轴)的两端点的切线交点N的轨迹是直线:mx[]a2+ny[]b2=1.

定理2 双曲线x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0)的过定点㎝(m,猲)(m≠0,m≠±a)的动弦AB(不平行于焦点轴)的两端点的切线交点N的轨迹是直线:mx[]a2-ny[]b2=1.

笔者受其启发得到了下面的结论.

定理3 设椭圆K:x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0),过定点㎝(m,猲)(m≠0,m≠±a)的动弦AB(不平行于轴)的两端点的切线交于点P，P的轨迹的斜率为k﹍璸,O是K的中心,则

k㎡M·k﹍璸=k〢B·k㎡P=-b2[]a2.

证明 设P(x′,y′),A(x1,y1),B(x2,y2),则椭圆在A,B两点处的切线方程分别为x1x[]a2+y1y[]b2=1,x2x[]a2+y2y[]b2=1,它们的交点为P,所以弦AB的方程为x′x[]a2+y′y[]b2=1.又由定理1知点P的轨迹为mx[]a2+ny[]b2=1.ス识,k㎡M·k﹍璸=n[]m·-m[]a2[]n[]b2=-b2[]a2=k〢B·k㎡P.

推论3 设椭圆K:y2[]a2+x2[]b2=1(a>b>0),过定点㎝(m,猲)(m≠0,m≠±a)的动弦AB(不平行于轴)的两端点的切线交于点P,P的轨迹的斜率为k﹍璸,O是K的中心,则k㎡M·k﹍璸=k〢B·k㎡P=-a2[]b2.

定理4 设双曲线K:x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0),过定点M(m,n)(m≠0,m≠±a)的动弦AB(不平行于轴)的两端点的切线交于点P,P的轨迹的斜率为k﹍璸,O是K的中心,则k㎡M·k﹍璸=k〢B·k㎡P=b2[]a2.

推论4 设双曲线K:y2[]a2-x2[]b2=1(a>0,b>0),过定点M(m,n)(m≠0,m≠±a)的动弦AB(不平行于轴)的两端点的切线交于点P,P的轨迹的斜率为k﹍璸,O是K的中心,则k㎡M·k﹍璸=k〢B·k㎡P=a2[]b2.

推论3、定理4、推论4的证明同于定理3,故从略.オ

【参考文献】オ

李永利,孙秀亭.二次曲线定点弦的一个优美性质［J］.数学通讯，2004（9）.