级数中的有限与无限

韩涵 宋岑

恩格斯指出:“在数学上,为了达到不确定的无限的东西,必须从确定的有限的东西出发.”所谓无穷级数就是无穷多个数列函数之和的一种形式,我们只要利用有限与无限的辩证关系,通过极限方法,就能确切的理解它的含义.

一、极限无穷级数

无穷级数几乎与微积分同时诞生,牛顿就把二项式级数作为研究微积分的工具.为了解决微积分创建初期混乱的逻辑基础,拉格朗日也试图用无穷级数重建微积分,但他与18世纪同时代的数学家一样,对无穷级数的认识还是粗糙的.无穷级数之所以难以捉摸,其原因就在于它与无穷(或无限)纠葛缠绵在一起.随着运动和变量进入数学,无限这个孪生鬼怪也就同时降生.在常量数学时期,数学家们尽量回避无限,但进入变量数学时期,无限这个鬼怪就必须延座正视,直至19世纪中叶才有柯西等人揭开了无限的面纱,建立了无穷级数的严格化理论.

对于无穷级数,不能照搬通常的加法规则来求和,这是因为它有无限多项,而有限与无限有着本质的区别,因此如果不加证明地把有限的结果照搬到无限上去,则可能产生错误的结果.柯西的研究指出,不能把有限的交换律以及有限项总存在代数和的观念照搬到无限项的运算之中,求无穷级数之和应该逐项相加,但是,一直做下去,碰到一个矛盾:无论n多大,总是有限数,永远没有完结的时候,那么应该如何解决无穷多项相加呢?恩格斯指出:“在数学上,为了达到不确定的无限的东西,必须从确定有限的东西出发.”为此,我们先把级数的前n项相加,得到前n项的和(有限项之和),然后运用极限这个法宝,当n→∞时,前n项和的极限就反映了无穷多项相加的结果,这样我们就可以从级数的前n项的和这个有限的量出发,通过取极限,从而解无穷多项相加的问题.这里就深刻地反映了人们通过有限去认识无限,从近似去认识精确,从具体到抽象,从特殊到一般的辩证思维过程.

二、无穷级数求和

a1+a2+a3+…+a璶+….（1）

在数学上,为了达到不确定的、无限的东西,必须从确定的、有限的东西出发.为了计算（1）式的无限和,先计算有限项的和：令S璶=a1+a2+a3+…+a璶+….若┆玪im猲→∞S璶=S,S是个有限数,则S就定义了无穷级数（1）的和,其和是由部分和（有限和）开始,然后求极限而得到的.实际上,

S1=a1,S2=a1+a2,S3=a1+a2+a3,…

S璶=a1+a2+a3+…+a璶,…

每个S璱都是有限数,是一个界限,但又是可以超越的界限,最后达到的“无限”是一个不能“超越”的界限,是个“超越仍然是自身的东西”.

下面举例来说明以上的观点.

例 求S=А啤轠]n=11[]n(2n+1).

解 S璶=А啤轠]k=11[]k(2k+1)

=А苙[]k=11[]k-2[]2k+1

=А苙[]k=11[]k-21[]3+1[]5+…+1[]2n+1

=А苙[]k=11[]k-21+1[]2+1[]3+…+1[]2n-2[]2n+1+21+1[]2+1[]4+…+1[]2n

=2А苙[]k=11[]k-2А2n[]k=11[]k-2[]2n+1+2

=2(C+玪n玭+a璶)-2(C+玪n2n+a2n)-2[]2n+1+2

=2-2玪n2+2a璶-2a2n-2[]2n+1.

因此S=﹍im玭→∞S璶

=﹍im玭→∞2-2玪n2+2a璶-2a2n-2[]2n+1

=2-2玪n2.

即S=2-2玪n2.

三、《庄子》中的有限与无限

庄子,名周,战国时人（约公元前369—前286）,中国古代哲学家.《庄子》一书33篇,是庄子及其后学的著作.《庄子·天下篇》有这样一句脍炙人口的话：“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思就是,有一个一尺长的木棒,第一天截取它的一半,以后每天截取其前一天剩余的一半,这样的截法,取一万年也取不完（即截取的总数总也不够一尺长）.用现代数学语言,只考察所取的“棰”的长度,这句话可表示如下：

第一天取 S1=a1=1[]2

第2天共取走S2=a1+a2=1[]2+1[]22

第3天共取走S3=a1+a2+a3=1[]2+1[]22+1[]23

……

第n天共取走S璶=a1+a2+a3+…+a璶

=1[]2+1[]22+1[]23+…+1[]2琻

文中说的“万世”可理解为相当大的有限数,因此,所取的长度和：

S璶=a1+a2+a3+…+a璶=1[]2+1[]22+1[]23+…+1[]2琻<1.

另一方面,“万世”又是人无法达到的“无限大”的数.所以,这句话又含有这样的意义：┆玪im猲→∞S璶=┆玪im猲→∞1[]2+1[]22+1[]23+…+1[]2琻=1,就是说,这里包含了朴素的极限思想.

如果也考察“棰”本身,那么这句话就表示了一个有限和无限的辩证过程.“一尺之棰,日取其半”,就是一个有限向无限的转化过程.就棰的长度来说,分的过程是无限的,无论分得多么小,总是可以取长度一半的,这是一个无限的过程.但是“纯粹的量的分割是有一个极限的,到了这个极限它就转化为质的差别”,对作为一定质的棰来说,具体的分割又是“可竭”的,即分到一定的关节点时,就不能保持“棰”之所以为棰了的质了,这个关节点就是取的一个极限,它标志着分的过程从无限到有限的转化.这个关节点大约在分到30天时到达,这时棰的长度大约是十万亿分之一尺,已小于分子直径的数量级,这时就再不称其为“棰”了.可见,“取”的过程是一个有限与无限对立统一的过程.《庄子》中的这种辩证思想后来在中国古代数学中得到发扬,成为中国古代数学思想的重要特点之一.

四、几个等式中的有限与无限

超越数e的计算公式e=1+1[]1!+1[]2!…+1[]n!+….

公式右边是无限个有理数的和,对数列r璶=1+1[]1!+1[]2!…+1[]n!来说,不论n多大,它总保持有理数的属性,我们只有通过﹏→∞这一无限过程,才能使其完成极限过程,达到质的飞跃,从而刻画出这一超越数其实质就在于通过无限过程,使数列r璶的属性发生了质变.

等式1[]2+1[]4+1[]8+1[]16+…=1.

等式左边是一种不完全的东西,是一种无限的努力；右边是完全的有限和.这里不完全的东西之所以变成完全的东西,无限的努力之所以能取得有限的结果，就在于通过这种无限的过程发生了质变.如果只有有限过程,那么不完全的东西将永远是不完全的,无限的努力将永远不会取得有确定性的有限的结果.

五、阿基里斯悖论中的有限与无限

公元前5世纪,芝诺发表了著名的阿基里斯和乌龟赛跑的悖论,他提出让乌龟在阿基里斯前面10米处开始,并且假定阿基里斯的速度是10米/分,乌龟的速度是1米/分.当比赛开始后,若阿基里斯跑了10米,设所用的时间为t,此时乌龟便领先他1米；当阿基里斯跑完下一个1米时,他所用的时间为t[]10,乌龟仍然前于他0.1米.当阿基里斯跑完下一个0.1米时,他所用的时间为t[]100,乌龟仍然前于他0.01米……芝诺解说,阿基里斯能够继续逼近乌龟,但绝不可能追上它.

这样提出问题,其结论显然与我们的知觉相悖,并且不难用初等数学的方法求出追赶的时间和路程,从而对芝诺的悖论给予反驳：阿基里斯一定能追上乌龟！然而芝诺把这样一个直觉上都会产生疑问的简单问题与无限纠缠在一起,由于长期以来人们对无限有关的概念缺乏深刻的认识,因而不能用辩证的观点解答芝诺的疑难,这不仅给当时的数学家和哲学家提出了诘难,而且使两千余年内的智者、哲人伤透脑筋,使一代一代的数学家争论不休,以至于不得不把“无限”这个怪物排除在数学之外.直至19世纪,当反映变量无限变化的极限理论建立之后,才可用极限理论回答芝诺的挑战.

具体解法为：阿基里斯追赶乌龟的距离为S=10+1+0.1+0.01+0.001+…102-n+….

这是无穷项相加,显然不能直接求出结果.我们可借助有限,再通过取极限的方法,将有限项之和的问题转化为无限项之和的问题.根据等比数列前n项和的公式,可求得距离S的前n项和为：

S璶=10+1+0.1+0.01+0.001+…+10﹏-2=10(1-0.1琻)[]1-0.1=100(1-0.1琻)[]9.

于是S=┆玪im猲→∞S璶=100(1-0.1琻)[]9=100[]9（米）,追赶的时间为t=S[]v=10[]9（分）.

通过以上分析研究,在无穷级数求和过程中，有限与无限是对立的统一，由有限转化为无限的主要桥梁就是极限,所以极限的本质就是描述变量变化的无限过程.