浅谈概率知识在实际生活中的应用

苏莹

概率与我们的日常生活息息相关，当我们过马路的时候，当我们上保险的时候，当我们买彩票的时候，当我们打甲流疫苗的时候，我们都在和不确定性打交道.这种不确定性体现的就是概率.生活中的大部分问题实际上都是概率问题，比如：气象预报、经济预测、医疗诊断、农业育种、交通管理，等等.总之，它已经渗透到了现代生活的方方面面.在概率论与数理统计已获得当今社会的广泛应用，概率已成为日常生活的普遍常识的今天，对现实生活中的概率问题进行研究就显得十分重要了.下面通过几个日常生活中常见的问题来阐述概率的广泛应用性.

一、公平抽签问题

在我们的现实生活中，有时会用抽签的方法来决定一件事情.有的人会认为先抽抽到的机会比较大，也有的人持不同的意见.那么抽签的先与后到底会不会影响公平性呢？

例1 某班级只有一张晚会入场券，而有10名同学都要参加，教师采用抽签的方式来确定这张入场券给谁.那么谁抽中与否跟抽签的顺序有关吗？

分析 设给10个同样大小的球编号，抽到1号球得晚会入场券.

设A璱：第i个人抽到1号球（i=1，2，…，10）.

则P(A1）=1[]10，

P（A2）=P（A1）P（A2|A1）+P（〢1）P（A2|〢1）=0+9[]10·1[]9=1[]10，（全概率公式）

P（A璱)=P(〢1·〢2·…·〢﹊-1狝璱)

=P(〢1)P(〢2獆〢1)·㏄(〢3獆〢1·〢2)·…·P（A璱|〢1…〢﹊-1)=9[]10·8[]9·…·10-i+1[]10-i+2·1[]10-i+1=1[]10.（乘法公式）

由上式可知：当一个人抽签时，若他前面的人抽的结果都不公开时，那么每个人抽到的概率都相等，也就是说抽签的顺序不会影响其公平性.

二、生日缘分问题

最近，我们在电视广告上会经常看到通过发短信寻找生日相同的有缘人，而且在平常生活中我们也偶尔会遇到某某与某某生日相同的巧合，他们会被认为是很有缘分.可是我们仔细地想一想能碰上这种“巧合”的机会是否真的很难得呢？

分析 我们可以从相反的情况入手：对于任意两个人，他们生日不同的概率是：P（〢2）=365[]365×364[]365=365×364[]3652，其中A2代表两个人的生日相同.那么对于三个人来说，三人生日都不同的概率为P(〢3)=365[]365×364[]365×363[]365=365×364×363[]3653，若有m个人在一起，其中任意两个人生日都不同的概率为：P(〢璵)=365×364×…×(365-m+1)[]365琺，因此，在m人中最少有两个人生日相同的概率为：P(A璵)=1-P(〢璵)=365×364×…×（365-m+1)[]365琺.

若令m=50，则P(A璵)=0.9705.由此可以得出，在50人中几乎就出现了“最少有两个人生日相同的”的情况，通过计算当m=23时，就有一半以上的机会碰到生日相同这种巧合.

通过以上的分析我们不难看出，其实通过简单的概率计算就能得出这种生日相同的缘分并不是很难遇到，但倘若真的遇到了生日相同的陌生人，其实也是一种意外的缘分吧.

三、排队等待问题

排队现象也是日常生活中常见的现象,在银行、超市和火车站，我们经常需要排队.我们也多次遇到这种情况：两条队看起来一样长，不知该排哪队好，或者是排了一段时间又放弃排队.其实这样的排队问题也可以用概率来分析.

例2 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分为单位）服从指数分布，其概率密度为：f璛(x)=1[]5e-x[]5(x>0),f璛(x)=0(x≤0).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月要到该银行5次.以Y表示他一个月内未等到服务而离开窗口的次数，那么他未等到服务次数大于1的概率会是多少？

分析 由题意该顾客在窗口未等到服务而离开的概率为：

P=А+∞[]10f(x)玠玿=А+∞[]101[]5e-x[]5玠玿=e-2.

显然Y~B(5,e-2).

所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-e-2)5=0.5167.

由此可以看出该顾客1个月5次中大于1次未等到服务的概率还是蛮大的.

通过上面的概率分析，我们看出那些为顾客提供服务的部门或公司，应根据各自的业务情况，做恰当的人员调整，尽量使每位来访的顾客所等待的时间尽可能的少.

四、保险投资问题

当今社会各式各样的保险充斥着我们的生活，当保险公司的工作人员向我们推销保险的时候往往是说得天花乱坠，不懂行的人会认为他们所描述的各种情况绝对是对自身有利的，有的人也会认为保险公司这么干不明显是赔本生意吗？其实并不然.否则的话为什么还会有那么多的保险公司，那么多的保险种类呢？我们同样也可以利用概率进行分析说明.

例3 某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加人寿保险.已知该类人在一年内死亡的概率为0.006.每个参加保险的人在年初付12元保险费，而在死亡时家属可向公司领取1000元.那么在此项业务活动中保险公司亏本的概率是多少呢？另外保险公司获得利润不少于40000元的概率又会是多少呢？

分析 设在10000人中一年内死亡的人数为X，则X~B（10000，0.006).保险公司一年收取10000×12=120000（元）保险费，所以仅当每年死亡人数超过120人时，公司才会亏本，当每年人数不超过80人时公司获利就不少于40000元.

由此可知，

（1）公司亏本的概率即为P(X>120)=1-P(X≤120)=1-狿X-60[]59.64≤120-60[]59.64≈1-Φ(7.7693)=0.

也就是几乎保险公司在此项业务上是绝对不会亏本的.

（2）获利不少于40000元的概率为P(X≤80)=㏄X-60[]59.64≤80-60[]59.64≈Φ(2.5898)=0.9952.

也就是保险公司几乎100%盈利不少于40000元.

由上述例子可以看出，干保险绝对不是亏本的买卖.因此当我们在选择各类保险来保障我们生活的时候千万不要听那些工作人员的恣意吹嘘，一定要慎重选择，慎重投保.

五、遗传病检测问题

据有关资料显示，每年的新生儿中1.3%有先天性缺陷，这其中70%~80%是由遗传因素引起的.我们都知道遗传疾病是难治愈的疾病，几乎患者是终身携带的.它固然可怕，但如果早做预防，进行遗传咨询，就能有效地控制甚至减少遗传病患儿的降生.其实这其中也运用了概率的思想.

例4 一个正常的女人与一个并指（Bb）的男人结婚，他们生了一个白化病（aa）且手指正常的男孩，那么基于这样的情况他们后来的子女中只患一种病甚至不患病的概率各是多少呢？

分析 由题意知双亲基因类型分别是Aabb和AaBb.

记：A：患白化病 B：患并指オ

（1）后代只患一种病包括“只患白化病不并指”和“只患并指不患白化病”两种情况.概率P=P（A〣+〢狟）=㏄（A〣）+狿（〢狟）=P（A）P（〣）+P（〢）P（B）=1[]4×1[]2+1[]2×3[]4=1[]2.

（2）后代不患病的概率P=P(〢 〣+AB)=3[]4×1[]2=3[]8.由此可知该对夫妇生一个健康的孩子的可能性比较低.

由上面的例子可以看出，对于某种遗传病可以通过有关概率的计算预测患病可能性的高低，然后再结合相应的医学治疗来进一步控制遗传病患儿的出生，达到优生的目的.

以上仅仅通过五个生活中常见的例子来阐述概率在现实中的应用，其实它的应用又何止如此呢.可以说概率的足迹已经深入到了每一个领域，在实际问题中的应用随处可见，认识并充分发挥其作用，远非一朝一夕所能完成的.但是我们相信人类能够更好的“挖掘概率的潜能”，使之最大限度地为人类服务.