圆锥曲线离心率e

夏建跃

以往和同学们谈及高考数学，大家似乎都有同感：高中数学难，解析几何更是难中之难.现在不同了，随着新课改、新课程方案的颁布，江苏的高考对解析几何的要求降低，纵观近几年的新高考，通常考查一个填空题、一个中档题.填空题考查以圆锥曲线的定义和离心率为重点，大题目以椭圆环境下的直线与圆位置关系为重点.所以现在解析几何题以中档题为主，是我们大家拿分的题目.那么我们高考复习要立足于基础知识和基本方法的掌握，但要避免简单的重复和罗列，要在提高上下工夫，因此复习时要凸现┱氇对性、启发性、概括性、综合性，要把关联知识综合起来复习，形成一个较为完整的知识体系.

求与离心率e有关的问题是近几年江苏高考解析几何题常常考查的一类题，它涉及的知识面广，综合性强，所以难度也较大，且能很好地考查学生的综合能力和数学素养，但是学生往往因为建立不了不等式关系，或理不清思路感到无从下手.由离心率e=c[]a，则要求离心率e,就要求a,b,c的关系.所以要在题目条件中寻找a,b,c的关系.

本文通过几个例题谈谈几类常见的求离心率e的解题策略.

一、利用圆锥曲线的定义求离心率

例1 （2009年全国卷Ⅱ理）已知双曲线C:x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交双曲线于A,B两点，若〢F=4〧B,则双曲线的离心率为().

獳.6[]5 B.7[]5 C.5[]8 D.9[]5

解 设双曲线C:x2[]a2-y2[]b2=1的右准线为l,过A,B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,BD⊥AM于D,由直线AB的斜率为3,知直线AB的倾斜角为60°,∴∠BAD=60°,|AD|=1[]2|AB|.

由双曲线的第二定义有

﹟AM|-獆BN|=|AD|=1[]e(|〢F獆-|〧B獆)=1[]2|〢B獆=1[]2（|〢F獆+獆〧B獆）.

又 ∵〢F=4〧B,∴1[]e·3|〧B獆=5[]2|〧B獆,∴e=6[]5.故选獳.

二、利用圆锥曲线的范围

例2 （2009年重庆卷理）已知双曲线x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)，若双曲线上存在一点P使玸in玃F1F2[]玸in玃F2F1=a[]c，则该双曲线的离心率的取值范围是．

解 因为在△PF1F2中，由正弦定理得

PF2[]玸in玃F1F2=PF1[]玸in玃F2F1.

则由已知，得a[]P1F2=c[]P1F1，即aPF1=cPF2，且知点P在双曲线的右支上.

设点(x0,y0)，由焦点半径公式，得PF1=a+ex0,PF2=ex0-a，则a(a+ex0)=c(ex0-a).

解得x0=a(c+a)[]e(c-a)=a(e+1)[]e(e-1).由双曲线的几何性质知﹛0>猘,则a(e+1)[]e(e-1)>a，整理得e2-2e-1<0,解得-2+1

三、利用三角函数的有界性

例3 椭圆x2[]a2＋y2[]b2＝1(a>b>0)与x轴正方向交于点A，如果在这个椭圆上总存在点P使OP⊥OA，O为原点，求椭圆离心率e的范围.

解 设P（a玞osθ,b玸inθ）θ≠kπ玔]2,k∈Z.

∵OP⊥OA,∴b玸inθ[]a玞osθ·b玸inθ[]a玞osθ-a=-1.化简，得

a2[]b2=玞osθ(1-玞osθ)[]1-玞os2θ=玞osθ[]1+玞osθ=a2-c2[]a2=1-e2.

∴e2=1[]1+玞osθ.∴e2∈1[]2,1,∴e∈2[]2,1.

点评 本题关键在于建立e和三角函数的关系式，再利用三角函数的取值范围求出e的范围，是一种常见的求e的方法.

除以上三种常见的求离心率e的解题策略，还有借助已知不等式求解和借助一个参数的范围求解，在此不一一举例.

纵观近几年江苏高考对解析几何的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点等方面不会有太大的变化.我们江苏的考查还应该以一个填空题、一个解答题为主，填空题考查圆锥曲线的基本概念，解答题以直线和圆的位置关系为主，可以简单与圆锥曲线联系.