例说“化折为直”思想在高中数学解题中的应用

江一峰

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”，记录了将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后，再回到B点宿营的活动过程（如图1）.人们自然会提出这样一个问题：饮马点该选在何处才能使总行程最短.无独有偶，古希腊的一位将军更是把这个问题提交给数学家海伦求解.于是，这个问题就有了它的专有名称——将军饮马.

图 1其实，“将军饮马”抽象成数学问题即为：点A，B在直线MN的同侧，在MN上求一点S，使㏒A+猄B为最小.海伦的解法十分巧妙，作点A关于轴MN的对称点A′,A′B与MN的交点S就是所求之点.理由是对于MN上任一点S′,S′A+S′B=S′A′+S′B≥A′B=AS+SB.

探究其解题的思想方法，采用的是“化折为直”的方法，依据是平面几何中的公理：连接两点的线中以直线段为最短.这一数学思想方法在数学解题中会经常得到运用.下面举例说明之.

图 2例1 如图2，已知正方形ABCD内有一正三角形ABE，试在其对角线AC上找一点P，使PD+PE最小.

解析 因为点D，E在直线AC的同侧，很明显，例1

就是将军饮马问题.点D关于直线AC的对称点为B,

所以PD=PB,从而只需PB+PE最小即可，故当P，B，E三点共线时PB+PE最小,即点P在直线AC与直线BE的交点时PD+PE最小，最小值就是正方形的边长.

图 3例2 如图3，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)，B(a+5,0)，C(7,9)，D(5,5)，当四边形ABCD周长最小时，求实数a的值.

解析 因为线段AB=5，CD=25均为定值，

所以，欲使四边形ABCD周长最小，只需AD+BC最小即可.

过A作AE∥BC且AE=BC，则问题转化为求AD+AE最小，如此，问题又转化成将军饮马问题，不难求得a=55[]14.

“化折为直”思想方法的用武之地有时候并不是一眼就可发现，往往在隐蔽之中，需要具备较强的洞察能力.

图 4例3 如图4，在平面直角坐标系xOy中，A(2,8)，B(6,2)，试在x轴上求一点Q,y轴上求一点P，使折线APQB最短.

解析 怎样把折线APQB“化直”而使之为最短呢？先

作A关于y轴的对称点A′，再作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，分别交x轴、y轴于点Q和点P，则此时折线APQB最短，最小值为241.

如果把上题中的直角坐标系改成一般的仿射坐标系，那么就有下面的问题，解法与例3如出一辙，不再赘述.

例4 若∠AOB=θ(0°<θ<90°),M,N是∠AOB内两点，试在边OA,OB上各找一点P，Q，使得折线APQB最短.

从上面几题的解答中，容易看出能否“化直”是解题的关键，但有时怎样“化直”是要动一番脑筋的.

图 5例5 如图5，在直线l:3x-y-1=0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)距离之差最大.

解析 与将军饮马问题相比较，不同之处在于两定点位于

定直线的两侧，并且是求距离差，因此需先作出距离差，而后再去求它的最大值，进而确定P点的位置.为此，可先作点B关于已知直线的对称点B′(3,3)，直线AB′与直线l的交点即是所求的P点，其坐标为(2,5).为什么这个点符合题中的要求呢？乃因为把差“化了直”.事实上，倘若不是P点而是图中的D点，那么就有﹟DB-狣A|=|DB′-DA|

有时候对“化直”的对象需进行深入推敲，所选对象准确对于问题解决是至关重要的.

例6 求函数y=(x-1)2+4+(x-3)2+9的最小值.

解析 本题采用代数的方法去求解运算会很麻烦，而应用数形结合的思想方法去求解就十分便捷.可把(x-1)2+4看成点(x,0)到点(1,2)的距离，又可把(x-3)2+9看成点(x,0)到点(3,3)的距离，故问题转化为在x轴上找一点，使其到点(1,2)及点(3,3)的距离和最小，这就是将军饮马问题，数形结合的结果为实施“化折为直”创造了条件.由两点间直线距离最短知，点(1,-2)和点(3,3)的距离就是函数y=(x-1)2+4+(x-3)2+9的最小值，最小值为29.

最后，笔者在这里还要指出，两个物理模型应引起我们足够的重视，一是光的反射，二是物体的反弹.光的反射和运动物体的反弹都是可运用“化折为直”数学思想方法求解的问题.