高职数学极限求法探讨

贺皖松

一、利用极限的四则运算法则求极限

极限的四则运算法则为：

设﹍im玿→x0f(x)=A,﹍im玿→x0g(x)=B,A,B为有限常数，则

（1）﹍im玿→x0［f(x)±g(x)］=﹍im玿→x0f(x)±﹍im玿→x0g(x)=A±B.

（2）﹍im玿→x0［f(x)g(x)］=﹍im玿→x0f(x)﹍im玿→x0g(x)=AB.

（3）﹍im玿→x0f(x)[]g(x)=﹍im玿→x0f(x)[]﹍im玿→x0g(x)=A[]B,(B≠0).

以上四则运算法则对自变量x的其他变化趋势也同样适用.

使用极限四则运算法则时，我们应注意它们的条件，即当每个函数的极限都存在时，才可使用和、差、积的极限法则；当分式的分子、分母的极限都存在，且分母的极限不为零时，才可使用商的极限法则.为了使用极限的四则运算法则，我们往往需要对函数作代数或三角的恒等变形.例如：（1）当分子、分母的极限都是零时，有时可通过因式分解或有理化分子（或分母）消去分子、分母中极限为零的因式；（2）当分子、分母的极限都是无穷大时，分子、分母可同除以x（或n)的最高次幂；（3）作适当的变量代换；（4）利用三角公式变形，等等.

下面通过典型例题加以说明.

例1 求极限﹍im玿→1x2+x+2[]x+1.

解 当x→1时，分子、分母的极限均存在，且分母的极限不为零，故满足极限四则运算的条件，直接使用极限的四则运算法则求极限.

﹍im玿→1x2+x+2[]x+1=﹍im玿→1(x2+x+2)[]﹍im玿→1(x+1)=﹍im玿→1x2+﹍im玿→1x+﹍im玿→12﹍im玿→1x+﹍im玿→11=1+1+2[]1+1=2.

例2 求极限﹍im玿→1x2+1-x2+x[]2x+1-3.

解 由于﹍im玿→1(2x+1-3)=0，故不能直接使用商的极限运算法则，需要把分子、分母分别有理化，得

﹍im玿→1x2+1-x2+x[]2x+1-3=﹍im玿→1(x2+1-x2+x)(x2+1+x2+x)[](2x+1-3)(2x+1+3)·2x+1+3[]x2+1+x2+x

=﹍im玿→11-x[]2(x-1)﹍im玿→12x+1+3[]x2+1+x2+x

=-1[]2×23[]22=-6[]4.

总结 使用极限的四则运算法则时，应注意它们的使用条件，即当每个函数的极限都存在时，才可使用和、差、积的极限法则.当分子、分母的极限都存在，且分母的极限不为零时，才可使用商的极限法则.为了简化极限的运算，往往需要对函数作代数或三角的恒等变形.

二、利用无穷小的性质求极限

定理 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量.

例3 求极限﹍im玿→0

x玸in1[]x.

解 当x→0时,玸in1[]x的极限是不存在的，故不能使用极限运算法则求极限，必须用无穷小量的性质求之.

因为﹍im玿→0x=0,玸in1[]x≤1，根据无穷小量的性质知：┆﹍im玿→0x玸in1[]x=0.

总结 在求两个变量的乘积的极限时，如果其中之一为无穷小量，另一个为有界变量，则用性质：无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量得出结论.

三、利用无穷小与无穷大的关系求极限

定理 在自变量的同一变化趋势中，若X为无穷大，则其倒数1[]X为无穷小；反之，在自变量的同一变化趋势中，若X为无穷小（X≠0），则其倒数1[]X为无穷大.

例4 求极限：﹍im玿→43x+4[]x2-16.

解 因为﹍im玿→4(x2-16)=0,﹍im玿→4(3x+4)≠0,故必须利用无穷小与无穷大的关系求该极限.

∵﹍im玿→4x2-16[]3x+4=0,∴﹍im玿→43x+4[]x2-16=∞.

例5 求极限﹍im玿→∞1[]x-3.

解 ∵﹍im玿→∞(x-3)=∞,∴﹍im玿→∞1[]x-3=0.

总结 当求分式的极限时，若分母极限为零，而分子的极限存在且不为零；或者分母的极限为无穷大，而分子的极限存在且不为零时，则利用无穷小与无穷大的关系求极限.

四、利用两个准则求极限

准则一 夹逼准则，即在变量的同一变化趋势中，若（1）A≤B≤C,(2)A与C的极限均存在假设为m,则B的极限也为m.

例6 求极限：﹍im玭→∞1[]n2+1+1[]n2+2+…+1[]n2+n.

解 令B=1[]n2+1+1[]n2+2+…+1[]n2+n,

A=1[]n2+n+1[]n2+n+…+1[]n2+n=n[]n2+n,

C=1[]n2+1+1[]n2+1+…+1[]n2+1=n[]n2+1.

则A≤B≤C，且﹍im玭→∞A=﹍im玭→∞n[]n2+n=1，オ﹍im玭→∞C=﹍im玭→∞n[]n2+1=1.

故由夹逼准则知：﹍im玭→∞B=﹍im玭→∞1[]n2+1+1[]n2+2+…+1[]n2+n=1.

准则二 单调有界收敛准则，即单调有界数列必有极限准则.其求解步骤为：

（1） 判定数列{x璶}的单调性、有界性.若{x璶}单调且有界，则极限﹍im玭→∞x璶存在.

（2） 令﹍im玭→∞x璶=A,代入通项公式得到待定极限A的方程.

（3） 解方程得出A.

例7 已知x1=a，x2=a+a，…,x璶=a+a+…+a,a>0,求﹍im玭→∞x璶.

解 因为x2=a+x1>x1，设当n=k时，x璳>x﹌-1,则有a+x璳>a+x﹌-1,

从而a+x璳>a+x﹌-1，即数列{x璶}为单调递增数列.

因为x1=a

根据单调有界收敛准则知：极限﹍im玭→∞x璶存在.

设﹍im玭→∞x璶=A,则﹍im玭→∞x璶=﹍im玭→∞a+x﹏-1,即A=a+A,解得A=1[]2(1+1+4a).

故﹍im玭→∞x璶=1[]2(1+1+4a).

总结 在利用两个准则求极限时，必须按准则所需要满足的条件按步骤进行.

五、利用等价无穷小替换求极限

原理 在自变量的同一变化趋势中,若X~X1,Y~Y1,若┆玪im猉1[]Y1存在或为∞，则┆玪im猉[]Y=﹍im玐1[]Y1.

由此可见，等价无穷小在求两个无穷小之比的极限时有重要作用.

常用的等价无穷小有：当x→0时，玸in玿~x,玹an玿~x,玜rcsin玿~x,玜rctan玿~x,1-玞os玿~1[]2x2,玡瑇-1~x,玪n(1+x)~x,(1+x)琣-1~ax.

例8 求极限：﹍im玿→0x玸in2x[]玹an玿2.

解 因为当x→0时，玸in2x~2x,玹an玿2~x2，故根据等价无穷小的替换原理得：

﹍im玿→0x玸in2x[]玹an玿2=﹍im玿→0x·2x[]x2=﹍im玿→02x2[]x2=2.

例9 求极限:﹍im玿→0玹an玿-玸in玿[]x玸in玿2.

解 [HT]﹍im玿→0玹an玿-玸in玿[]x玸in玿2=﹍im玿→0玸in玿[]玞os玿-玸in玿[]x玸in玿2=﹍im玿→0玸in玿1[]玞os玿-1[]x·x2=﹍im玿→0x(1-玞os玿)[]x3=﹍im玿→0x·1[]2x2[]x3=1[]2.

プ芙 在使用等价无穷小替换原理求极限时，替换的只能是因子，而不是因子的部分，否则容易出错.

六、 利用洛必达法则求极限

洛必达法则 设f(x),g(x)满足以下条件：

（1）﹍im玿→x0f(x)=0(∞),﹍im玿→x0g(x)=0(∞)；

（2）f(x),g(x)在x0的邻域内可导（在x0处可除外），且g′(x)≠0;

(3)﹍im玿→x0f′(x)[]g′(x)存在（或∞)，

则﹍im玿→x0f(x)[]g(x)=﹍im玿→x0f′(x)[]g′(x).（当x→∞时，也有类似的条件与结论)

例10 求极限：﹍im玿→0玡瑇-玸in玿-1[]玸in玿玜rcsin玿.

解 因为当x→0时，玸in玿~x,玜rcsin玿~x,

所以﹍im玿→0玡瑇-玸in玿-1[]玸in玿玜rcsin玿=﹍im玿→0玡瑇-玸in玿-1[]x·x=﹍im玿→0玡瑇-玸in玿-1[]x20[]0型=﹍im玿→0玡玿-玞os玿[]2x=﹍im玿→0玡瑇+玸in玿[]2=1[]2.

例11 求极限：﹍im玿→0x4玸in1[]x[]玹an玿(玜rcsin玿)2.

解 虽然是0[]0型，但不能使用洛必达法则，因为当x→0时玸in1[]x的极限不存在，因为x→0时玹an玿~x，玜rcsin玿~x，

所以﹍im玿→0x4玸in1[]x[]玹an玿(玜rcsin玿)2=﹍im玿→0x4玸in1[]x[]x·x2=﹍im玿→0x4玸in1[]x[]x3=﹍im玿→0x玸in1[]x=0.

总结 在使用洛必达法则求极限时，必须验证是否是0[]0型或∞[]∞型.使用洛必达法则求极限必须注意以下事项：

（1）只有0[]0或∞[]∞的未定式，才可能使用该法则，只要是0[]0或∞[]∞，则可一直用下去；

（2）每用完一次法则，要将式子整理化简；

(3)为简化运算经常将法则与等价无穷小替换结合使用；

（4）﹍im玿→x0f′(x)[]g′(x)不存在（也不为∞）推导不出﹍im玿→x0f(x)[]g(x)不存在；

（5）当x→∞时，极限式中含有玸in玿,玞os玿，不能使用该法则;当x→0时,

极限式中含有玸in1[]x,玞os1[]x,不能使用该法则.

七、利用重要极限公式求极限

重要公式一：﹍im玿→0玸in玿[]x=1.

其演变形式：

﹍im玿→0x[]玸in玿=1,﹍im玜(x)→0玸in(ax)[](ax)=1，

﹍im玜(x)→0(ax)[]玸in(ax)=1.

重要公式二：﹍im玿→∞1+1[]x瑇=玡.

其演变形式：﹍im玿→0(1+x)1[]x=玡,﹍im玜(x)→0(1+a(x))1[]a(x)=玡,﹍im玜(x)→∞1+1[]a(x)゛(x)=玡.

例12 求极限：﹍im玿→01-玞os玿[]2(玸in玿)2.

分析 因为当x→0时玸in玿~x，﹍im玿→0玸in玿[]x=1，所以该题有多种解法：

解法一 ﹍im玿→01-玞os玿[]2(玸in玿)2=﹍im玿→02玸in2玿[]2[]2x2=1[]4﹍im玿→0玸in2x[]2[]x[]22=1[]4﹍im玿→0玸in玿[]2[]x[]2

2=1[]4.

解法二 ﹍im玿→01-玞os玿[]2(玸in玿)2=﹍im玿→01[]2x2[]2x2=﹍im玿→01[]4=1[]4.

解法三 ﹍im玿→01-玞os玿[]2(玸in玿)2=﹍im玿→01-玞os玿[]2x2=﹍im玿→0玸in玿[]4x=1[]4﹍im玿→0玸in玿[]x=1[]4.

例13 求极限：﹍im玿→∞x+1[]x-1瑇.

解 ﹍im玿→∞x+1[]x-1瑇=﹍im玿→∞x-1+2[]x-1瑇=﹍im玿→∞1+2[]x-1瑇=﹍im玿→∞1+2[]x-1瑇-1[]22x[]x-1=玡2.

总结 利用重要极限公式求极限，关键在于把要求的极限化成重要极限公式的标准形式或它们的变形式，从而求出所求的极限.

八、利用导数的定义求极限

例14 已知(玸in玿)′=玞os玿,利用导数定义求极限：﹍im玿→0玸inπ玔]2+x-1[]x.

解 因为玸inπ玔]2=1，x=π玔]2+x-π玔]2,

﹍im玿→0玸inπ玔]2+x-1[]x=﹍im玿→0玸inπ玔]2+x-玸inπ玔]2[]π玔]2+x-π玔]2=(玸in玿)′|﹛=π玔]2=(玞os玿)|﹛=π玔]2=玞osπ玔]2=0.

总结 利用导数的概念求极限，关键在于理解导数的本质是函数增量与自变量增量比值的极限，即f′(x0)=┆﹍imΔ玿→0Δ珁[]Δ玿=﹍imΔ玿→0f(x0+Δ玿)-f(x0)[]Δ玿.

九、利用换元法求极限

例15 求极限：﹍im玿→1x瑇-1[]x玪n玿.

解 令t=x瑇-1,则x玪n玿=玪n(t+1)，

x→1时，t→0,故﹍im玿→1x瑇-1[]x玪n玿=﹍im玹→0t[]玪n(t+1)=﹍im玹→0t[]t=1，

(t→0时，玪n(1+t)~t)

总结 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，从而达到简化的目的，求出结果.

十、利用级数收敛的必要条件求极限

利用级数收敛的必要条件：若级数А啤轠]n=0u璶收敛，则当﹏→∞时，通项u璶→0.运用该方法求极限，首先判定级数А啤轠]n=0u璶收敛，从而求出┆玪im猲→∞u璶=0.

例16 求极限：┆玪im猲→∞n琻[](n!)2.

解 令u璶=n琻[](n!)2，则┆玪im猲→∞u﹏+1猍]u璶=┆玪im猲→∞1[]n+1·1+1[]n琻=0<1，由比值判别法知：

А啤轠]n=0u璶收敛,由级数收敛的必要条件知：┆玪im猲→∞u璶=0，即┆玪im猲→∞n琻[](n!)2=0.

总结 若级数А啤轠]n=0u璶收敛，则当n→∞时，通项u璶→0.

十一、利用极限存在的充要条件求极限

在x0点极限存在的充要条件是f(x0-)=f(x+0)，利用该方法一般用来求分段函数在分段点处的极限.

例17 已知f(x)=玡瑇+1,x≤0,

2x+3,x>0,

求┆玪im獂→0f(x).

解 因为f(0-)=┆玪im獂→0-f(x)=┆玪im獂→0-(玡瑇+1)=2，

f(0+)=┆玪im獂→0+f(x)=┆玪im獂→0+(2x+3)=3，

f(0-)≠f(0+)，

所以┆玪im獂→0f(x)不存在.

总结 常用在x0点极限存在的充要条件是f(x-0)=ゝ(x+0)，求分段函数在分段点处的极限.

十二、利用定积分定义求和式的极限

定积分是某一和式的极限，即А要琤璦f(x)玠玿=┆玪imλ→∞А苙[]i=1f(ξ璱)Δ玿璱，因此，如果关于n的某一和式可以表示成某一积分和形式时，则可根据定积分定义，求出这个和式的极限.

例18 求极限：┆玪im猲→∞1[]n+1+1[]n+2+…+1[]2n.

解 ┆玪im猲→∞1[]n+1+1[]n+2+…+1[]2n=┆玪im猲→∞1[]1+1[]n+1[]1+2[]n+…+1[]1+n[]n·1[]n=┆玪im猲→∞А苙[]i=11[]1+i[]n·1[]n.

令f(x)=1[]1+x，且把［0，1］等分为n等份，则每一小区间的长度Δ玿=1[]n,取ξ璱为每一小区间的右端点时，有：

┆玪im猲→∞1[]n+1+1[]n+2+…+1[]2n=┆玪im猲→∞А苙[]i=11[]1+i[]n·1[]n=И∫101[]1+x玠玿=玪n(1+x)|10=玪n2.И

例19 求极限：┆玪im猲→∞1琾+2琾+…+n琾[]n﹑+1，其中p>1，且p为常数.

解 ┆玪im猲→∞1琾+2琾+…+n琾[]n﹑+1=┆玪im猲→∞1琾+2琾+…+n琾[]n琾·1[]n=┆玪im猲→∞1[]n琾+2[]n琾+…+n[]n琾·1[]n=┆玪im猲→∞А苙[]i=1i[]n琾·1[]n=А要10x琾玠玿=1[]p+1x﹑+1獆10=1[]p+1.

总结 利用定积分定义求极限，其关键在于将极限和式转化成某一函数的定积分形式.

十三、利用函数的连续性求极限

原理 一切初等函数在其定义域内都是连续的.

即若函数f(x)为初等函数，其定义域为D，x0点是D内任意一点，

则┆玪im獂→x0f(x)=f(x0).

例20 求极限：┆玪im獂→π玔]2［玪n(玸in玿)］.

解 因为函数f(x)=玪n(玸in玿)的定义域为(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)，π玔]2∈(2kπ,2kπ+π),(k∈Z),故函数f(x)=玪n(玸in玿)在x=π玔]2处连续，所以┆玪im獂→π玔]2［玪n(玸in玿)］=┆玪n玸inπ玔]2=玪n1=0.

总结 若函数f(x)为初等函数，其定义域为D，x0点是D内任意一点,则┆玪im獂→x0f(x)=f(x0).

十四、利用泰勒展开式求极限

泰勒展开式 若f(x)在x=0点有直到n+1阶连续导数，

则f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(x)[]2!x2+…+f(n)(x)[]n!x琻+R璶(x),

R璶(x)=f(n+1)(ζ)[](n+1)!x﹏+1，（其中ζ在0与1之间）.

例21 求极限：┆玪im獂→0玞os玿-玡-x2[]2猍]x4.

解 因为玞os玿=1-x2[]2!+x4[]4!+0(x4),e-x2[]2=1+-x2[]2+-x2[]22[]2!+0(x4)，

所以玞os玿-玡-x2[]2=-x4[]12+0(x4).

故┆玪im獂→0玞os玿-玡-x2[]2猍]x4=┆玪im獂→0-x4[]12+0(x4)[]x4=-1[]12.

总结 利用泰勒展开式求极限其关键在于常见函数的泰勒展开式，如：

（1）1[]1-x=1+x+x2+x3+…+x琻+0(x琻),x∈(-1,1).

（2）1[]1+x=1-x+x2-x3+…+(-1)琻x琻,x∈(-1,1).

（3）玡瑇=1+x+x2[]2!+x3[]3!+…+x琻[]n!+0(x琻),x∈(-∞,+∞).

（4）玸in玿=x-x3[]3!+…+（-1）琻1[](2n+1)!x2n+1+┆0(獂2n+1)，獂∈(-∞,+∞).

（5）玞os玿=1-x2[]2!+x4[]4!-…+(-1)琻1[](2n)!x2n+0(x2n），x∈(-∞,+∞).

（6）玪n(1+x)=x-x2[]2+x3[]3-…+（-1）琻x﹏+1猍]n+1+0(x﹏+1),x∈(-1,1］.

（7）(1+x)琣=1+ax+a(a-1)[]2!x2+…+a(a-1)(a-2)·…·(a-n+1)[]n!x琻+0(x琻)，

其中x∈(-1,1).