直角三角形在特殊四边形中的应用

2012-04-29 01:44刘维汉
都市家教·上半月 2012年9期
关键词:直角直角三角形中点

刘维汉

分析近几年中考的综合能力题,图形的变换已成为常见的考点,基于此在平常的教学中应在不离开课本要求,不离开课标要求的前题下,引导学生一题多解,以多个方向寻找解决问题的途径。下面以直角三角形特殊四边形的应用为例。希望对同学们有所帮助:

例1、如图E是矩形纸片ABCD中AD上的一点,以CE为折痕将△CDE翻折,点D落在AB边的点F上,则原矩形被分为四个直角三角形。图中四个直角三角形不随点E不同位置影响:①一定相似的三角形是 与;② 一定全导的三角形是 与;③ 如果这个特殊的矩形翻折后,△AEF∽ △FEC(既四个都相似);则AD:AB的值应是多少。

分析若△AEF∽△FEC则 ∠1﹦∠2﹦∠3﹦∠4﹦30°设AE﹦ⅹ

则EF﹦2ⅹ∴DE﹦2ⅹ AD﹦3ⅹ CD﹦2√3ⅹ=AB∴AD﹕AB﹦3ⅹ﹕2√3ⅹ﹦√3:2

将图中△CDE剪去、问题演变为:

例2:如图AD//BC∠B﹦90°将三角尺的直角顶点放在AB 的中点0、并绕着点O旋转三角尺,其两直角边分别与射线AD、BC交于点E、F 连接EF⑴如果AB﹦8设AE﹦ⅹ BF﹦Y求Y与ⅹ的出数关系式;⑵若分别以E 、F为圆心,以EA,FB为半径画OE、OF求 OE 与 OF的位置关系。

分析:对于问题②研究 OE 与 OF 的位置关系。关键在两圆半径AE.BF与连心线EF的数量关系,显然这是直角梯形中上、下底边长与斜腰长之间的关系(提示:取EF中点P连接OP,易证Rt△EOF中EF=20P。在梯形ABFE中AE+BF=2OPEF=AE+BF即两圆外切)

例3 如圖已知在正方形ABCD中边长为1。点P在BC边上移动,E是BC延长线上的点,联结AP与 P点作PF⊥AP变∠DCE平分线于点F连接AF.证明AP﹦PF

证明一:一般通过三角形的全导来证明是同学们的首选但这有一定的难度,需要不断探索.构选与△PCF全导的三角形。(提示:在AB边上截取BQ﹦BP.连接PQ 易证∠1﹦∠2AQ﹦1—BQ﹦1—BP﹦PC∠AQP﹦135°﹦∠PCF从而△APQ≌△PFE∴AP﹦PF)

证明二:可以肯定地讲,有很多同学过点F作FH⊥BE垂直为H,易证∠1﹦∠2∠B﹦∠PHF﹦90°但要证AB﹦PH或 BP﹦FH都不容易。那么这不就证明思想是不好不行呢?否则是否定。

例1时我们讲△ABP∽△PHF。

设BP﹦ⅹ FH﹦Y﹦CH则PC﹦1— ⅹPH=1—ⅹty 于是有∴ Y﹦ⅹ—ⅹ﹢ⅹY可化为(ⅹ—Y)(1—ⅹ)=0∴ⅹ≠1 ∴ⅹ=Y即BP=FH ∴△ABP≌△PHF从而得到AP=PF

小结:构造法一的三角形一般较难想到,法二的三角形较直观,但法二的证明反而难了一些,如果能结合相似通过计算推导线段相导其有蓦然回首,灯火阑珊处之境。

意犹未尽的同学想一想还有没有别的办法呢?

证明三:连接AC正方形ABCD中∠ACD﹦45。 CF平分∠DCE∴∠DCF﹦∠ECF﹦45°∴∠ACF﹦∠ACD﹢∠DCF﹦90°

∴∠APE﹦∠ACF﹦90°

∴点A P C F 四点在以A F为直径的圆上外角∠FCE﹦45°﹦∠PAF∴∠PAF﹦45°=∠PFA∴PA=PF

怎样!是不是感受到这个方法更佬,有余韵绕梁之美

练习:在矩形ABCD中,点P在AD上,AB﹦2AP﹦1将直角尺的直角顶点放在点P上 直角尺两边分别交AB、BC于点E.F ,连接EF如图(1)

(1)当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合(如图②)求PC的长②探究 将直角尺从图②的位置开始,绕点P顺时针方向旋转,当点E与点A重合时停止。在这个过程中请你观察猜想并解答。

(a)fam∠PEF的值是否发生变化,请说明理由

(b)直接写出从开始到停止线段EF的中点经过的路线的长

提示:(1)图②中△ABP∽△DPC 又∵Rt△ABP中AP﹦1AB﹦2BP﹦√5而矩形ABCD中DC﹦AB﹦2∴ PC﹦2√5

如图②(a)fam∠PEF的值不变,理由:过点F作FG⊥AD,G为重点如图①由△PAE∽△FGP而PA﹦1FG﹦AB﹦2即tam∠PEF=2不变(b)可以看出开始时EF中点0,停止时EF即AF中点为0,显然0为BC中点,也是BP中点∴0,0 =PC=√5

上面围绕直角三角形的特殊四边形中的应用进行举例说明,同学们有何收获与感受。从中又体会到哪些数学思想与引导?我希望同学们在复习,梳理知识时能发现其内在联系,在学习方法中能融会贯通。举一返三,在运用知识时能分析转化,不断改变问题的条件、结论,改变图形,实现转化,拓展提高综合能力。

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