关于极大子群的s－完备和s－θ完备

高 辉， 高胜哲， 尹 丽

（大连海洋大学理学院，辽宁大连 116023）

关于极大子群的s－完备和s－θ完备

高 辉， 高胜哲， 尹 丽

（大连海洋大学理学院，辽宁大连 116023）

通过s－完备和s－θ完备的概念，揭示了它们之间的关系，并通过它们研究群的可解性和超可解性.

极大子群；s－完备；s－θ完备；可解；超可解

Deskins在文［1］中引入了有限群的极大子群的完备概念，并研究了极大完备的性质对有限群结构的影响.但由于完备对商群不具有遗传性，无法使用归纳法.为解决这一问题，文［2］中引入了极大子群的θ－偶的概念，这一方法为研究有限群的结构提供了一个很好的工具.为了揭示极大子群的完备与θ－偶之间的内在联系，文［3］中引入了极大子群的θ－完备这一概念.但以往的研究都是通过极大完备或极大θ－完备来研究群的结构，为了得到更好的结论，将对赋予的“极大”这一条件去掉，文［4］和文［5］中分别给出了极大子群的s－完备和s－θ完备这一概念.本文通过它们的概念来研究它们的联系，同时得到了群的可解性及超可解性的一些新的判别准则.

1 预备引理

引理1设Σ是具有对子群遗传和同态不变的群论性质，M是G的极大子群，C是M的s－完备使得C／K（C）是Σ－群，则下列结论之一成立：

（i）MG⊄C，则存在关于M的一个正规θ－完备C1使得C1／MG是Σ－群；

（ii）MG≤C，则C是M的s－θ完备；

（iii）MG≤C，则C是M的θ－完备，但C不是M的s－θ完备，即存在关于M的一个正规θ－完备C＊使得C是C＊的极大子群.

证（i）若MG⊄C，则CMG不是M的完备.否则，由C＜CMG，设K＜CMG，使C是K的极大子群，由文献［4］引理2.2知，K是M的完备.而C是M的s－完备，由s－完备的定义得K不是M的完备，矛盾.所以K（CMG）⊄M，于是存在G的主因子C1／B且C1⊄M，BM＝M，从而K（C）MG≤B＜C1≤K（CMG）≤CMG.因此C1／B是Σ－群.显然B＝MG和C1是M的正规θ－完备.

（ii）若MG≤C，则C＝CMG∈θI（M）.显然K（C）＝MG.若C是M的正规θ－完备，则C是M的s－θ完备，即（ii）成立.

（iii）若C是M的非正规θ－完备，在θI（M）中取极小者C＊使C⊆C＊，则C是C＊的极大子群.因C是M的s－完备，由s－完备的定义C＊∉I（M），即存在A⊂C＊且A◁G，但A⊄M.若AMG＜C＊，则AMG／MG是C＊／MG的非平凡正规子群，矛盾.所以AMG＝C＊且C＊◁G.

引理2设M是G的极大子群，C是M的s－完备（s－θ完备）使得C／K（C）（C／MG）是幂零且G＝MC.假设K／MG是G／MG的唯一极小正规子群且K／MG非可解，则C／MG是2－群且｜G∶M｜＝2的方幂.

证若MG⊄C，由引理1知K／MG幂零，矛盾.因此MG⊆C且K（C）＝MG.若C不是M的s－θ完备，由引理1知C／MG是K／MG的极大子群且Z（K／MG）＝1.由文［6］的Rose定理知C／MG是K／MG的Sylow 2－子群.于是｜G∶M｜＝｜C／MG∶M／MG∩C／MG｜＝2的方幂.

若C是M的s－θ完备，设C是H的极大子群，则H不是M的θ－完备.于是CK＝H.因H／MG非可解且Z（H／MG）＝1.由文［6］中的Rose定理知C／MG是H／MG的Sylow 2－子群且｜G∶M｜＝2的方幂.

2 主要结果

定理1设G是有限群，则下列条件是等价的：

（i）G可解；

（ii）对于G的每个c－极大子群M，存在关于M的s－完备C使C／K（C）幂零，或者Sylow 2－子群的幂零类≤2或者G＝MC；

（iii）对于G的每个c－极大子群M，存在关于M的s－θ完备C使C／MG幂零，或者Sylow 2－子群的幂零类≤2或者G＝MC.

证 （i）⇒（ii）.由G可解知，G的主因子皆为交换群.对于任意的极大子群M，令集合A＝｛U｜U◁G，G＝UM｝非空，在A中取极小者C，则C是M的一个正规完备，当然C是M的一个s－完备.而C／K（C）是G的一个主因子，则（ii）成立.

（ii）⇒（iii）.由引理1知，只需考虑情形（iii），则K（C）＝MG，C／MG是K／MG的极大子群，其中K∈θI（M）且K／MG是G／MG的极小正规子群，于是K是M的s－θ完备.若Sylow 2－子群的幂零类≤2，由D－J－T定理得K／MG可解，从而K／MG交换.若G＝MC，下证K／MG可解.假设K／MG非可解且设本原群G／MG有两个极小正规子群，则它们均是M／MG在G／MG的补.特别地，K／MG∩M／MG＝1，矛盾.因C／MG是非可解K／MG的幂零极大子群，由引理2知，C／MG∈Syl2（K／MG）且｜G／MG∶M／MG｜＝2的方幂.

假设L／MG是G／MG的任意无核的极大子群，若｜G／MG∶L／MG｜＝素数r≠2，则K／MG∩L／MG∈Syl2（K／MG）.由Burnside的paqb阶群可解知，K／MG可解，矛盾.若｜G∶L｜＝合数，由题设知，存在关于L的s－完备D，使D／K（D）幂零.若Sylow 2－子群的幂零类≤2，则K／MG可解，矛盾.所以G＝LD.又L／MG的核为1，则LG＝MG.若LG⊄D，则G的主因子A／LG幂零，矛盾.于是LG＝MG＝K（D），由引理2知｜G∶L｜＝2的方幂.由文［7］中Baer引理知，G／MG有非平凡的可解正规子群，所以K／MG可解，矛盾.

（iii）⇒（i）.设G是满足条件的极小阶反例.显然Fc（G）≠且G非单群，设N是G的极小正规子群且设Fc（G／N）≠Φ，对于∀M／N∈Fc（G／N），则M∈Fc（G）.由文［5］中的引理3.3知，G／N也满足定理的条件.所以G／N可解，设N是G的唯一极小正规子群且N非可解.

若N非可解，则N⊄L（G），即存在G的极大子群H1∈Fc（G），则G＝H1N且H1G＝1，由题设知存在关于H1的s－θ完备C使C幂零，显然C不是G的正规子群.否则N≤C，而C幂零，于是N可解，矛盾.由文［5］的引理3.4知，C是E＝CN的极大子群.若Sylow 2－子群的幂零类≤2，由D－J－T定理知，E可解，故N可解，矛盾.从而G＝H1C，由文［6］中的Rose定理知，C∈Syl2（E）.

设L是G的任意核为1的极大子群，则G＝LN.若｜G∶L｜＝素数r≠2，不失一般性，假设C≤L使C是H的极大子群.由s－θ完备知，H不是H1的θ－完备.故存在G的正规子群包含在H中，所以H＝CN.若C（N∩L）＝CN，则C（N∩L）＝CN＝H，所以N≤L，矛盾.于是N∩L≤C，于是｜N｜＝2ar，所以N可解，矛盾.所以｜G∶L｜＝2.

若｜G∶L｜＝合数，由题设知存在关于L的s－θ完备D，使D幂零，若D的Sylow 2－子群的幂零类≤2，则N可解，矛盾.所以G＝LD，由引理2知｜G∶L｜＝2的方幂.所以N可解，矛盾.

定理2设G是有限群，则下列条件是等价的：

（i）G超可解；

（ii）对于G的每个M∈Uη（G）＝｛M｜Gu≮M，η（G∶M）含有平方因子｝，存在关于M的s－完备C，使CG／K（C）循环；

（iii）对于G的每个M∈Uη（G），存在关于M的s－θ完备C，使CG／MG循环.

证 （i）⇒（ii）.类似定理1.

（ii）⇒（iii）.对于引理1的情形（i），存在正规s－θ完备C1使／MG＝C1／MG可解.考虑引理1的情形（iii），则K（C）＝MG且C／MG是K／MG的极大子群，其中K∈θI（M）且K是M的正规θ－完备.由G／MG可解，而K／MG是G／MG的极小正规子群，则K／MG可解，于是K／MG＝KG／MG交换.

（iii）⇒（i）.首证G可解.假设G非可解并且G是一个极小阶反例.选取N◁G具有尽可能大的阶使得G／N非可解，那么G／N有唯一极小正规子群U／N且U／N非可解，从而U／N≤（G／N）u≤GuN／N.

若Uη（G／N）＝Ø，由文［9］定理1得G／N可解，矛盾.所以对任意M／N∈Uη（G／N），即存在M∈Uη（G），由假设存在关于M的s－θ完备C，使CG／MG循环，由U／N的唯一极小性知，N＝MG且U／N≤CG／N可解，矛盾.

其次证G超可解.不妨设G非单，令N是G的极小正规子群且设Uη（G／N）≠Ø.由文［5］引理3.3知G／N满足定理的条件，由G的极小性得G／N超可解且设N是G的唯一极小正规子群.于是Φ（G）＝1，即存在G的极大子群H使得G＝HN且HG＝1.因N≤Gμ，故Gμ不包含在H中.若η（G∶H）无平方因子，则η（G∶H）＝｜N｜＝p，矛盾，其中p是｜G｜的某个素因子.于是H∈Uη（G），由题设知，存在关于H的s－θ完备C，使CG循环.因CG≠1且CG◁G，由N≤CG循环群，矛盾.

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［4］Li Shi－rong，Zhao Yao－qing.Ons－completions of maximal subgroups of finite groups［J］.Algebra Colloquium，2004，11：411－420.

［5］杜妮，李世荣.关于有限群极大子群的强θ－完备［J］.数学年刊，2006，27A（2）：279－286.

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［10］徐明耀，等.有限群导引（上、下册）［M］.北京：科学出版社，1999.

Ons－Completions ands－θCompletions for Maximal Subgroups

GAOHui，GAOSheng－zhe，YINLi
（Science Institute，Dalian Ocean University，Dalian，Liaoning 116023，China）

By the concepts ofs－completions ands－θcompletions，their relationships are revealed.And the solvability，supersolvability of a finite group are studied by using their concepts.

maximal subgroups；s－completions；s－θcompletions；solvability；supersolvability

O152.1

A

1672－1454（2012）04－0092－03

2010－03－10