波动数值模拟人工边界的稳定问题

谢志南

（中国地震局工程力学研究所，哈尔滨150080）

波动数值模拟人工边界的稳定问题

谢志南

（中国地震局工程力学研究所，哈尔滨150080）

波动数值模拟是力学、地球物理和多个工程学科共同关注的领域，研究者在基础和应用研究方面皆取得了丰硕成果。然而，由边界引入局部失稳问题，即使在线性范围亦尚未彻底解决。这里“边界”泛指人工边界、物理边界或不同介质的分界面。本文从波动数值模拟稳定性分析方法着手展开对局部失稳形成机理和消除方法的研究。

（1）从指导波动数值模拟稳定性分析的Lax等价定理出发，依据数值解收敛方式的不同将定理中的稳定条件区分为强条件和弱条件，进而将稳定性分析方法归纳为强稳定分析和弱稳定分析。对前者着重阐明了其对分析边界引入局部失稳现象的重要性；对后者则阐明其与有限元方法相结合应用于构建波动数值模拟稳定实现方案的价值。

（2）针对完美匹配层应用于正交各向异性介质波动数值模拟中存在的数值失稳问题，基于一阶连续形式透射边界与有限元方法给出了稳定的数值模拟实现方案，并采用弱稳定分析初步论证了该方案的稳定性。

（3）应用强稳定分析研究了透射边界引发局部失稳现象的机理及其消除方法。首先完善了基于一维有限模型得到的透射边界高频振荡失稳机理。然后从半无限模型出发阐明了透射边界与邻近内节点运动方程所激发的高频局部失稳现象的机理，建议了一种有效的消除高频局部失稳方法。最后讨论了透射边界的零频漂移失稳机理，并用解析方法解释了数值实验中观察到的零频飘移失稳现象。

（4）针对成层介质中标量波动的数值模拟，基于波速有限原理和波动方程柯西问题的解导出了界面点在一个短时间窗内的精确解，由此给出具有高阶精度的界面节点显式递推公式的一种构建方法，并以构造弹性杆界面节点的递推公式为例说明其要点。阐明了该递推公式与现有稳定的显式内节点递推公式的精度阶的一致性，后者的时间和空间精度阶均为2 M（M为正整数），从而给出了界面节点与内域节点精度阶相互匹配的计算方案。并通过数值试验检验了这一匹配方案的精度和稳定性，最后基于强稳定分析论证了其中二阶精度匹配方案的稳定性。

（5）将透射边界合并于紧接人工边界的内节点运动方程给出了该边界的一个新的实现方案。该方案较之原实现方案不仅收缩了计算区、改进了边界的模拟精度，而且揭示了透射边界截断误差阶数与大区域数值解之间的关系，阐明了仅通过提高边界精度阶对改进波动数值模拟精度的局限性。

Lax定理；透射边界；局部失稳；强稳定分析；弱稳定分析

P315.31；

A；

10.3969／j.issn.0235－4975.2012.05.012

（作者电子信箱，谢志南：42009021＠qq.com）