多品种期货组合的套期保值模型

姚宝鑫，杜子平

（天津科技大学 经济与管理学院，天津 300222）

0 引言

在套期保值中，不管是一种期货对应一种现货的单品种期货套期保值还是多种期货对应一种现货的多品种期货套期保值，在模型的计算和估计中，都会用到资产价格或是资产收益率的协方差或是相关系数，在传统的期货套期保值模型中，大多数会用到线性相关系数；我们知道，金融时间序列数据有时候是厚尾的，并不是线性相关的，如此以来，用线性相关系数得到了结果往往并不是理想的结果，会有很大的偏差。

从现有的研究来看，一是大多数研究者采用一种期货对一种现货的套期保值，但这种保值方法不能很好的分散基差风险；二是虽然有学者用多元GARCH模型研究多品种套期保值[1]，但由于多元GARCH模型的参数本身估计缺陷，使模型的有效性较差；三是大多数的研究者用Copula理论研究期货套期保值，基本局限在二元Copula的单品种期货套期保值[2]，对于高维（多元）Copula函数在多品种套期保值研究较少。本文提出了藤结构[3]Copula—GARCH模型一方面将套期保值模型的研究从单品种套期保值过度到多品种套期保值模型上，即多元Copula理论的多品种套期保值模型研究；另一方面利用藤结构Copula—GARCH理论克服多元GARCH模型中的组合序列分布必须符合一个确定的椭圆分布和多元GARCH模型的相依关系局限于线性相关等缺陷问题，同时藤结构的应用比较好的解决高维（多元）Copula函数描述尾部相关性只有一个参数，没有考虑维数的影响问题，也很好的解决了两两资产之间的相关关系，得到了很好的套期保值效果。

1 藤结构Copula的构建

在处理高维Copula模型的过程中，为了方便、准确的估计多维变量之间的两两相关关系，我们将图形建模工具中的“藤”的思想[7]用于解决高维Copula的相关关系；在藤结构中比较常用的是Canonical藤和D藤。本文是研究两种期货对一种现货的套期保值，即是三维空间变量的两两特征；由于Canonical“藤”和D“藤”在描述三维空间变量的图形变化是一样的，所以，可以用Canonical“藤”和D“藤”的任何一种，本文选用Canonical“藤”进行建模。Canonical“藤”结构如图1、图2和图3所示(以四维为例)：

图1

图2

图3

2 多品种最小方差套期保值模型的构建

2.1 多品种期货套期保值最小方差模型的建立

设多品种期货套期保值的综合收益率函数如下：

其中Rh是期货和现货的总收益率，Rs是现货收益率，Rf是套期保值中不同期货收益率组合成的收益率向量，H就是不同的期货合约需要对用现货套期保值比率所组成的向量H=(h1,h2,...,hn)。根据最小方差的原理，分别对（3）式两边同时取方差，得到以下结果：

其中Cov(Rfi,Rfj)为不同期货之间的协方差，Cov(Rs,Rf)为期货和现货的协方差。对（4）式的向量H分别求一阶导数和二阶导数可知，二阶导数是恒大于0的，故（4）式有最小值，即令一阶导数为0，得到最小方差的套期保值比率如下：

对于本文考虑的是两种期货对应一种现货的的套期保值，可以将（5）式写成如下形式：

其中var(Rf1)和var(Rf2)表示两种期货收益率的方差；cov(Rf1,Rf2)表示两种期货的协方差；cov(Rf1,Rs)和cov(Rf2,Rs)表示两种期货分别和一种现货的协方差。将（6）式变成如下形式：

图4

图5

2.2 Copula—GARCH模型的构建

2.2.1 GARCH（p，q）模型定义如下：

2.2.2 Copula—GARCH模型定义如下

根据Copula理论和（8）中的GARCH模型，可知由一个Copula函数链接的各个变量的边缘分布可以是任意的一个一元分布，因此可以将正态边缘分布假设下的Copula—GARCH、Copula—GARCH-t和 Copula—GARCH-GED 模型结合起来，扩展到N元Copula-GARCH模型的一般形式，若{y1t},{y2t},...{ynt}用GARCH过程来描述金融时间序列，结合Copula理论和GARCH模型可以得到N元Copula—GARCH模型如下：

其中Ct(*,...,*)表示任意一个N元的Copula的函数，F1(*),F2(*),...Fn(*)或是表示标准正态分布或是均值为0，方差为1的正规化t-分布或是正规化GED分布中的任意一种分布函数。即(ξ1t,ξ2t,...ξnt)或是服从标准正态分布或是服从均值为0、方差为1的正规化t-分布或是服从正规化GED分布中的任意一种分布。

3 实证研究与分析

本文的多种期货对一种现货的套期保值是采用豆油期货和豆粨期货对大豆现货进行套期保值，数据采用大连商品交易所2010年1月5日至2010年9月14日171个交易日的豆油期货和豆粨期货结算价数据，大豆的现货价格数据来自于中华粮网。豆粨的期货合约是m1009，豆油的期货合约是y1009。由于期货市场和现货市场的资产价格变化比较快，对信息也比较敏感，对一个要求较长时期的套期保值者来说，静态套期保值比率已经不能很好的反应市场的变化，所以本文用动态套期保值的方法来完成套期保值比率的估计。Chen S S[4]证明了套期保值比率一周变化一次是比较理想的。本文以60天的数据为步长（一周的交易日是5天），计算第61天的套期保值比率的方法对2010年4月6日至2010年9月14日的大豆现货进行动态套期保值。本文的实证中以第一周的套期保值比率估计为例（同样的方法可以求出未来每一周的套期保值比率）。

3.1 期货与现货的数据整理

为了解决连续复利条件下的连续加减问题，将期货和现货资产的结算价转化成收益率时间序列：期货收益率时间序列如（10）式所示，现货收益率时间序列如（11）式所示。

所以期货和现货的价格和收益率如表1所示：

3.2 GARCH模型及其收益率分布的选择

3.2.1 基本统计量的描述

金融时间序列的一个显著特征是存在条件异方差，Engle（1982）[5]提出ARCH模型来刻画时间序列的条件二阶矩性质，刻画了波动的时变性和集群性；Bollerslev（1986）[6]提出GARCH模型能更好的描述金融时间序列的异方差特性。期货和现货的基本统计量如表2。

表1

表2

从表2的基本统计量可以看出，偏度值都是负数，所以是左偏的，从值的大小可以看出豆粨的偏度比豆油和大豆的偏度要小；表中的峰度值都是大于3，并且豆油和大豆的峰度大于豆粨的峰度值，说明大豆和豆油更呈现出尖峰厚尾的的特征，而豆粨的峰度较正态分布凸起不是很明显；最后根据JB（Jarque-Bera）统计量和其相伴概率检验序列的观测值是否符合正态分布，从表中的JB统计量的相伴概率可以看出，对于豆粨数据序列接受在1%显著性水平的零假设，即序列服从正态分布，而对于豆油和大豆数据序列是拒绝在1%显著性水平的零假设，即序列不服从正态分布的。

3.2.2 不同分布的GARCH模型的比较

根据（8）式中的GARCH模型设置金融时间序列符合不同的分布情况可以得到豆粨、豆油和大豆的三种不同分布的GARCH模型，整理如表3、表4和表5（下面的结果由Eviews6.0软件产生）：

表3

表4

表5

从表3、表4和表5的ARCH检验可以看出，豆粨、豆油和大豆的数据存在异方差，故用GARCH（1，1）模型对三种数据建模是合适的，同时根据对数极大似然率的选优标准和表3、表4和表5的数据，可以对豆粨数据时间序列用GARCH正态分布模型，豆油数据序列选用GARCH—GED模型，大豆数据序列选用GARCH—t模型。与此同时可以给出三种模型的均值方程和方差方程如表6所示。

根据豆粨期货、豆油期货和大豆现货三个品种的GARCH模型，由Eviews6.0可以估计出豆粨期货、豆油期货和大豆现货对应的标准差回归预测值分别为0.008962、0.008213、0.009086以及豆粨期货、豆油期货收益率的方差分别为0.00008183和0.00006986。即：

表6

3.3 藤结构Copula函数的参数的估计

为了方便计算和估计藤结构Copula函数的参数，本文使用阿基米德Copula函数族的Gumbel Copula函数。N元Gumbel Copula函数的表达式如（14）式所示。

其中Fi(xi)表示期货和现货序列的边缘分布，cf1s、cf2s和cf1f2|s是Copula密度函数（可以根据（1）式求出），其余参数的含义与上文相同。根据藤结构分解的Copula估计方法和步骤[7],，并将表六中的豆粨期货、豆油期货以及大豆现货的GARCH模型的参数估计值带入到（15）式，令对数似然函数值最大化后就可以得到参数估计的终值，本文用Matlab2010软件工具编写完成。参数估计的终值如（16）式所示。

3.4 套期保值比率的计算

将（12）式、（13）式和（16）式的数据带入到（7）中，就可以得到套期保值比率如（17式）所示。

所以，2010年4月6日期货套期保值比率向量为H=（0.6757，0.1678），即豆粨期货对大豆现货的套期保值比率为0.6757；豆油期货对大豆现货的套期保值比率为0.1678。同理,可以求未来每周的套期保值比率：第二周H=（0.3541，0.2104）；第三周H=（-0.5249，0.2016）；第四周H=（0.8237,-0.3356），其余每周的套期保值比率同理可以计算出来。

4 模型的可行性分析

本文是多种期货对一种现货的交叉套期保值，为了进行此模型的可行性分析，将此模型和一种期货对应一种现货的单品种交叉套期保值模型和传统的基于多元GARCH模型的多品种期货套期保值模型进行比较。套期保值的损益是每天期货和现货的损益和。其损益公式[8]如（20）式所示。为了减轻计算量，本文的可行性分析限定在前四周的套期保值情况。

4.1 纵向可行性分析

求出本文的豆粨期货对应大豆现货的套期保值比率和豆油期货分别对应大豆现货的单品种期货套期保值比率。这种单品种的交叉套期保值的套期保值比率只是本文的一个特例，用二元Copula—GARCH模型就可以求出，不必要进行藤结构分解了；在这里求出的豆粨期货对应大豆现货的套期保值比率和豆油期货对应大豆现货的单品种交叉期货套期保值比率分别为：0.5386和0.0983。

4.2 横向可行性分析

对于多品种期货交叉套期保值的传统模型是用多元GARCH模型，将本文的模型和多元GARCH模型进行比较，根据多元GARCH多品种套期保值模型［4］估计出豆粨期货、豆油期货对大豆现货的前四周套期保值比率分别为H=（0.7052，02011）、（0.4096，0.1988）、（-0.5106，0.2381）、（0.7955，-0.3621）。

将以上数据带入到（20）式可以得到前四周的总损益如表7所示。

表7

从表七中可以看出，不进行套期保值是总损益为-117，损失是最大的，而进行套期保值的总损益均比不进行套期保值的损益较小，其中多元GARCH模型和本文模型能使总损益为正值，这两种模型较好，但本模型更能好的分散基差风险，这也充分证明了本模型的有效性和可行性，取得了预期规避价格风险的效果。

5 结论

本模型的研究体现了多品种期货套期保值分散基差的优势，并和传统的单品中期货套期保值模型以及基于多元GARCH模型的多品种期货套期保值模型进行了比较研究，证明了本模型的可行性和有效性，其特征主要体现在以下几个方面：

（1）提出了动态套期保值模型比率的计算方法，克服了静态套期保值比率不能很好的适应市场变化的缺陷，使套期保值者能根据市场情况随时调整期货套头比率，作出更加符合实际的套期保值操作，把价格风险控制在自己的风险承受能力之内。

（2）应用Copula理论进行多品种套期保值，解决了统一形式的多元GARCH模型中的组合序列分布必须符合一个确定的椭圆分布和多元GARCH模型的相依关系局限于线性相关等缺陷问题。本研究对两种期货和一种现货分别用不同的分布描述其特征，很好的拟合了数据序列自身的特征，更加符合数据本身的特性。

（3）将Copula理论应用在多品种期货套期保值模型中，更好的反应了期货和现货以及期货和期货之间的非线性特性，同时将Copula藤结构的分解方法用于多元Copula函数的分解中，这样避免多元Copula描述多种资产非线性相关特性时只有一个相关参数且不能很好反应不同资产两两之间的尾部相关特征的特点，本文的通过藤结构的分解，得到了基于Copula理论的期货与期货、期货与现货之间的两两非线性相依关系，将Copula理论从二元Copula的单品种套期保值扩展到N元Copula函数的多品种套期保值，很好的拟合了期货和现货的非线性对冲和期货与期货之间的非线性叠加，提高了套期保值的准确度。

（4）本研究是采用最小方差套期保值的思想进行的多品种期货套期保值研究，但在真实市场中投资者对风险的厌恶程度是不一样的，以及是不是套期保值的期货品种越多对套期保值者越有利呢，以及更多的（三种期货以上的套期保值）期货套期保值它们的相依关系如何处理等问题，这些都是今后需要进一步努力方向。

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