基于不同决策准则的应急资源布局模型

董银红，付丽丽，任俊博

(1.中南民族大学 管理学院，武汉430074;2.中国社科院 数量经济与技术经济研究所,北京 100732;3.北京联合大学 商务学院，北京 100025；4.公安部信息中心，北京 100006)

0 引言

应急资源布局问题是指在一个应急设施集合中选择一个集合，使得从应急设施点到受影响地区之间总距离最小，包括应急资源的选址和配置两部分，分别解决应急资源的存放位置、存放量使得有限的应急资源能发挥最大的经济效用和社会效用。应急资源安置在合理的位置不仅可以降低成本，而且还能满足应急救援的紧急性，可以最大限度的减少损失。然而，在应急资源调度过程中，由于物资需求状况、路段状况和供给等因素的影响给实时救援工作带来了巨大的挑战，因此，在实施资源调度之前，做好资源布局规划是非常有必要的。

1 基于萨凡奇决策准则的应急资源布局鲁棒模型

由于在突发事件发生前，对于突发事件发生的概率并不清楚，因此，利用处理随机事件的方法来处理应急资源布局问题是不合理的，关注最坏情境的资源布局也将是一种资源浪费，基于多种情境的萨凡奇决策的鲁棒优化资源布局模型是合适的。现假定，已经存在一个备选应急设施集合M,从其中选择出p个设施，使其尽量满足需求集合N中n个需求点的应急需求。为了考虑模型的方便，可以将符号记作如下：

B——政府在建立应急配送中心前的资金预算；

M——应急设施集合M＝{1,2,...,m}；

N——应急需求点集合N＝{1,2,...,n}；

S——情境集合S＝{1,2,...,s}；

p——决定选择的应急设施个数；

Cij——从第j个应急设施中心到第i个需求点的单位物资总成本；

xijs——在情境s下，从第j个应急设施中心到第i个需求点的配送量；

yj——为0－1变量。其中，当yj=1时，第j个可能的应急设施被选中作为应急配送中心，当yj=0时，不在第j个可能应急设施上实施配送；

yijs——表示在情境s下，是否有物资从第j个应急设施中心运送到第i个需求点。若有，则yijs＝1，反之，yijs＝0；

wj——在第j个应急配送中心的物资容量；

Di——在第i个需求点的初步预估需求；

α——需求满足率；

决策变量是yijs和yj，均为二进制变量，但是这两个变量是有本质区别的。其中，yijs是控制变量，其值会随着每一种情境的实现而调整，而yj是设计变量，也即是在给定情境前是确定的。换句话说，以下的应急资源布局模型将考虑一系列情境中的最坏情境，求解最坏情境下的最优，yj是在情境决定之前决定的量，yijs是情境下要确定的量。基于现实情形和以上的假设条件可以得到离散需求变动下应急资源布局的鲁棒优化模型。其目标函数是所有情境中的最小最大目标值。也即：

在上式中，目标函数和约束（1）是线性化原来的目标函数。约束（2）确保总有需求被分配到每一个需求点上。约束（3）保证在每一种情境下，需求总要满足初始需求目标的一定比例。约束（4）表示从备选应急设施集合M中选择出p个设施，使其尽量满足需求集合N中n个需求点的应急需求。约束（5）表示从每个应急设施点运出量不能超过其容量约束。约束（6）说明只有当某个应急设施被选中，才会安排资源配置。约束（7）表示成本约束不能超过预算，在此处的作用是去掉完全不符合预算的。最后一个约束说明变量类型是0－1变量。

以上模型和以前讨论的模型是不同的。首先体现在对目标的考虑。Ghezavati考虑了在路段距离发生变动的情境下的距离，最小化最大的总距离，考虑的约束条件也相对较为简单。以上模型除了考虑到成本约束外，还考虑到了需求满足水平变量α，容量约束等。这些条件的考虑，会更加贴近现实，也势必会增加问题的难度。其次在考虑决策准则时，也与以往的研究有所不同。以往的研究关注于目标的最优，或者概率水平的最优，但是本文主要从萨凡奇决策准则出发，考虑的是最坏情况下的最好状况，这种状况的考虑将能更大程度的满足系统的鲁棒性原则。

2 基于拉普拉斯决策准则的应急资源布局期望值模型

本节讨论基于拉普拉斯决策准则的应急资源布局期望值模型，其中随情境变化的需求都用均值来代替。模型的目标函数将是最小化成本期望值。提出期望值模型的作用就是要和鲁棒优化模型进行比较。其模型可以表示为：

3 应急资源布局两种模型比较

3.1 两种模型建模思想比较

对于不确定型决策，可能知道发生的概率，也可能不知道各种情境发生的概率。因此作为决策者一般都是基于相应的决策条件和决策目标，依据决策者的行为偏好（主要是对风险的偏好和喜恶程度以及对未来收益的主观估计），选择一种决策标准，在这种标准下得到相对满意解。显然，以上提及的应急资源布局的鲁棒优化模型和期望值模型，可以用这个定义来区分。期望值模型所对应的是已知发生的概率（这里采用的等概率，也称为等可能性法或者拉普拉斯决策准则），这个模型假定各种情境发生的概率是相同的，通过所有情境下的平均值来选择平均成本最小的参数。而鲁棒优化模型则是不知道概率分布，选择在所有情境中最坏的一种，然后优化最坏的情境，那么得到的解是具有鲁棒性的，这种决策标准对应着决策理论中的“萨凡奇决策”。虽然都是数学规划模型，但是二者的建模思想很明显是不一样的。

从决策理论的角度，二者都属于经济学古典理性模型。但是决策依据上的不同，使得两个模型在结果上有很多不同的地方。现实的数学规划模型一个最基本的假设就是预先给定确定的输入，在给定输入的情形下寻求最优。这实际上是与现实有区别的。在现实情况中，往往输入是不知道的，此时对于模型的要求就是输入参数在变化时，所求得的最优解还仍然是可行的，既然主观概率难以获取，并且不能排除最坏情况的发生，那么考虑最坏情形的最优比研究主观概率下的最优更具有实践上的意义。

3.2 第一种模拟情形与数值分析

分别考虑多个需求点和多个备选应急设施点在多个不同情境下的最优情况。首先可以设计一组情况：待选的应急设施点有6个，需求点有4个，其中有2种不同的情境，分别对应不同的需求分配状况。最终将选定3个应急设施点作为配送中心。具体参数如表1。

表1 第一种情况下参数说明表

同时，Cij作为从第j个应急设施中心到第i个需求点的单位物资总成本，与情境无关，其原始数据见表2。

表2 单位物资运输成本Cij

xijs表示在情境s下，从第j个应急设施中心到第i个需求点的配送量；当s=1和2时，需求分配量分别为表3和表4。

表3 第一种情况情境1下的需求分配量xij1

表4 第一种情况情境2下的需求分配量xij2

表5 第一种情况两种情境平均需求分配量

表6 第一种情形下两种模型数据分析表

以上数值都是通过对于实际情况的参考，通过计算机模拟仿真得到的。其中，Cij中每一个元素为区间[0,50万元]之间的随机数，需求分配量xij1和xij2也分别为区间[0,50万元]的随机数。模型得到的结果说明，若考虑两种情境发生的概率相同，则得到的最优资源布局成本为4077.332万元，其中选择第一个、第五个、第六个可能的配送中心点作为应急设施点。若考虑萨凡奇决策（最小化所有情境的最大遗憾值），则选择第三个、第四个、第五个配送中心作为应急设施点，此时的最优资源布局成本为2501.869万元。通过对比分析可以得到，鲁棒模型的结果要优于期望值模型。如果将目标值提高率r定义为：r=(期望值模型目标值-鲁棒模型目标值)/鲁棒模型目标值，那么，鲁棒模型目标提高率为62.97%。很明显，通过这个实例说明了鲁棒模型的确是优于期望值模型的，也就是说萨凡奇决策准则要优于拉普拉斯决策准则。以下将通过多个数值试验来证明这个结论。

3.3 鲁棒模型与期望值模型的数值比较

为了检验鲁棒模型和期望值模型的优劣，特别选定十个问题进行比较。这些问题的数据都是通过给定一定范围进行随机生成。首先给定应急需求点个数、备选应急设施点的个数、情境个数和选定设施点个数。然后随机产生相应的成本矩阵和几种情境下的需求分配矩阵，也即，Cij∈[50,100],xij1∈[50,100],xij2∈[100,200],xij3∈[200,400]。以下的数据基本按照需求点个数，设施点个数依次递增的规律。具体试验结果见表7。

表7 鲁棒模型和期望值模型解的比较

很明显，从表7中可以看出，在只有一种情境的情形下，鲁棒模型和期望值模型的目标函数值是相等的。当有多个可能情境时，鲁棒优化模型要优于期望值模型。下面就专门针对第十个问题，逐渐加大情境的数目，探讨在不同情境数目下两个模型的差异。

表8 鲁棒模型解和期望值模型解的比较

从表8数据表可以看出，随着模型中给定的情景数目的增加，模型的差异性就越大，鲁棒模型的优势就更能体现了。用折线图表示如图1。

从图可1以看出，随着情景数目的增加，鲁棒模型比期望值模型在成本节约上更有优势。并且，模型更具有健壮性。

图1 情景数目与模型目标提高率

4 结论与展望

在数值试验中不难发现，尽管鲁棒优化模型在多数情形下的数值结果要优于期望值模型，但是偶尔也会有一些数值结果不尽人意，例如下面的第二种情形，当选择需求点个数为6个，应急设施点为8个，情境数为3个，在随机生成的三组数据中，就会有期望值模型的目标函数值优于鲁棒模型的目标函数值。换句话说，鲁棒优化模型能保证结果的普适性和更大范围内的可行性，但是无法保证在成本节约上就一定要优于给定主观概率的期望值模型，理论上不能证明，实践上也不能保证。下面是经过多次反复试验得到的数值表（见表9）。

从表9中可以看出，绝大多数情形下鲁棒优化模型的目标函数要优于期望值模型。从理论上分析这也是自然的。鲁棒优化模型考虑的是最坏情况下的最优目标，而期望值模型考虑的是平均概率下的最优，平均概率下的最优当然有可能优于最坏情形下的最优。事实上，鲁棒优化模型的最大优势在于考了特定的最坏的情况，因此一般情况也能够适合。

表9 鲁棒模型解和期望值模型解的原始数值结果图

本文就是利用离散情境来表示不确定参数的几种不同状态，几种情境发生的概率是未知的。因此选择合理的决策依据，对应急物流规划成本有重要的决定因素。通过萨凡奇决策和拉普拉斯决策依据的比较，得到了在未知情境发生概率的情况下，萨凡奇决策要优于拉普拉斯决策。两种决策依据的思想和数学表达形式是不同的。萨凡奇决策对应鲁棒模型主要是选择所有情境中最坏的情景将其最优化，而拉普拉斯决策对应期望值模型主要是给定先验概率相等的情形下，寻求最优的资源配置方式。

通过数值试验，至少可以得到三个重要结论：（1）在考虑成本最低的情况下，鲁棒模型比期望值模型要优越。尤其是针对大幅度变化的情景，这种优势更加明显；（2）随着情境数目的加大，这种优势将更大；（3）鲁棒模型具有对特性或参数摄动的不敏感性。这三个优势使得鲁棒模型比传统的期望值模型在解决应急物流规划方面具有很强的适应性。

尽管如此，本文的工作还是主要集中在不同情境下的模型比较上，还是没有完全解决好实时需求预测问题。这一问题的有效解决可以得到不同情境下的需求分配数据，将能更好的验证结论。

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