杠杆法在复合轮系教学上的应用

李明圣

（湛江师范学院物理科学与技术学院，广东 湛江 524048）

在机械中，常用到由几个基本周转轮系或定轴轮系和周转轮系组合而成的复合轮系。由于整个复合轮系不可能转化成一个定轴轮系，所以不能只用一个公式来求解。计算复合轮系时，首先必须将各个基本周转轮系和定轴轮系区分开来，然后分别列出方程式，最后联立解出所要求的传动比[1]。但是对初学者来说，不易区分周转轮系和定轴轮系，计算传动比过程也比较繁琐。因此，本文从行星齿轮机构的运动特性方程式出发，介绍了一种对行星齿轮机构进行运动学和动力学分析的图解方法-杠杆法，并应用杠杆法对汽车自动变速器中的典型行星齿轮机构进行传动比的分析。

1 行星齿轮机构传动的一般规律

单级行星齿轮系的传动比计算可通过转换将周转轮系转换成定轴轮系，然后按求解定轴轮系传动比的方法来计算，如公式（1）。并可得出单级行星齿轮系的传动比通用计算公式

根据能量守恒定律，三个元件（太阳轮、齿圈、行星架）上输入和输出的功率的代数和应等于零。得出单级行星齿轮机构一般运动规律的特性方程式[2]：

其中：n1、n2、nH、κ1分别为太阳轮转速、齿圈转速、行星架转速和齿圈与太阳轮的齿数比。

由于双级行星齿轮机构多一对行星轮外啮合，因此公式（1）的负号变正号，传动比的计算公式

双级行星齿轮机构一般运动规律的特性方程式：

有级变速的自动变速器采用的行星齿轮传动是一种常啮合传动，其传动比变换可通过分离与接合离合器或制动器而方便的实现，而且通过增减行星排内行星齿轮的数目、行星排的数目，改变排与排之间的排列组合以及构件间的连接和控制方式，可以得到较为理想的传动比。传动比计算方法通常采用解方程法，即根据式（2）或式（4）列出各行星排三元一次联立方程，确定方程中各转速的关系，输入、输出元件以及各排中的共体元件。具体为：先解出转速为0的(有制动)单排方程，解出以共体元件为主函数的方程；再以此方程代入另一方程中的共体元件，就可将双联方程变为只有输入、输出转速的单列方程；将输入转速放在等号左边，输出转速放在等号右边，解出输入轴转速和输出轴转速关系的方程，再除去转速，即得到输入轴与输出轴的速比。这种算法对单排和双排行星齿轮传动分析还比较简单，但分析多排行星齿轮传动时就比较困难了，特别是在判断机构可能实现的传动比数目、各基本构件、行星轮的相对转速及力学和动力学问题时，非常困难。如果采用杠杆法进行分析，上述问题就变得容易，学生理解起来很轻松。

2 杠杆法的工作原理

2.1 单行星排齿轮传动时杠杆图

由于一个行星排由太阳轮、行星轮、齿圈及行星架构成。根据其结构特点将一个行星排等效为一个垂直杠杆和三个支点，三个支点分别代表太阳轮S、行星架PC和齿圈R。对于单行星行星排，由公式（3）和能量守恒定理可得出中间支点为行星架PC，两端支点分别为S和R；对于双行星行星排，由公式（5）和能量守恒定理可得出中间支点为齿圈R，两端支点分别为PC和S。支点S和R距支点PC的长度分别与太阳轮齿数和齿圈齿数成反比，如图1（a）、（b）所示为单行星行星排和双行星行星排的杠杆图，图中为齿圈与太阳轮的齿数比。可以用杠杆图进行行星齿轮的转速分析，建立xoy坐标系，三个支点按比例画在y轴，x轴表示支点的转速大小和方向，在这里假设输入支点的转速为1，方向朝x轴方向为正，相反为负，被固定支点的转速为 0。如图 2（a）、（b）所示，图(a)为单行星行星排转速分析图，齿圈R输入、太阳轮S被固定，行星架PC输出，利用相似三角形定理，行星架的转速nPC=κnR/（κ+1），属于减速同向，与公式（3）计算结果一样；图(b)为双行星行星排转速分析图，行星架PC输入、太阳轮S被固定，齿圈R输出，利用相似三角形定理，齿圈的转速nR=（κ-1）nPC/κ，属于减速同向，与公式（5）计算结果一样，但杠杆法更简单、直观。

图1 星排杠杆图

图2 星排转速图

2.2 多行星排行星齿轮传动时杠杆图

当多行星排并联时，每个行星排视为一个垂直的杠杆和三个支点，行星排之间的构件相互连接，在杠杆图上视为各支点之间的连接。在处理时，根据需要，既可以将杠杆重叠，又可以将杠杆分开：重叠时，将相互连接的部分合并为一个点；将杠杆分开时，连接点用一水平线来表示。两种情况都要对杠杆的力臂进行调整，调整时要保证连接部分合并点之间的力臂长度相等，并且各杠杆力臂长度比不变，这样将多个行星排的杠杆图合并为一个总杠杆图，并在图上标上离合器C、制动器B、单向离合器F以及输入构件i，输出构件o，即得多行星排并联机构的转速杠杆图[3]。如图3所示为辛普森式行星齿轮机构转速图，其中，（a）图为行星齿轮机构的示意图；（b）图为行星齿轮机构转速图，C2B2（或F）接合得到1档，连C2B2与PC1R2相交，交线段长度为输出转速的大小，方向与输入同向。同样方法，C2B1接合得到2档，C2C1接合得到3档，C1B2接合得到R档。

图3 辛普森式行星齿轮机构转速图

图4 拉威娜式行星齿轮机构转速图

如图4所示为拉威娜式行星齿轮机构转速图。其中，（a）图为拉威娜式行星齿轮机构结构的示意图；（b）图为拉威娜式行星齿轮机构转速图，C2B2接合得到1档，连C2B2与R相交，交线段长度为输出转速的大小，方向与输入同向。同样方法，C2B1接合得到2档，C2C3接合得到3档，C3B1接合得到4档，C1B2接合得到R档。各档位传动比的大小可通过相似三角形的方法求解。

2.3 各档位下传动比

参见图 3（b）、图 4（b），假设输入件构件的转速为1，制动件构件转速为0，输出构件转速为该档位的转速线的长度，方向与x轴向同为正，相反为负，利用相似三角形的关系，很快可以得出此时的传动比。辛普森式自动变速器和拉威娜式自动变速器各档传动比的大小，如表1和表2所列。

表1 辛普森式自动变速器各档传动比

表2 拉威娜式自动变速器各档传动比

3 杠杆法的具体应用

现以ZF公司生产的5速电子控制自动变速器5HP-24为例，应用杠杆法来分析它的传动路线及传动比。

5HP-24自动变速器动力传递路线示意图如图5（a）所示。由图可知，行星齿轮组由三个单级行星齿轮机构组成。行星排1的行星架与行星排2的内齿圈相连；行星排1的内齿圈与行星排2的行星架及行星排3的内齿圈相连；行星排2和行星排3的太阳轮相连。行星排3的行星架是动力输出端。变速器内部共有7个换挡执行元件，包括3个离合器、3个制动器和1个单向离合器。

图5 5HP-24自动变速器杠杆图

3.1 建立5HP-24传动机构的杠杆图

在三行星排并联时，每个行星排视为一个垂直的杠杆和三个支点，行星排之间的构件相互连接，在杠杆图上视为各支点之间的连接。三行星排并联时，在杠杆图上有五个个支点，如图5（b）所示，各支点的距离由行星轮的特性系数κ决定。

3.2 计算5HP-24传动机构各档位下传动比

合并图 5（b）的杠杆图，建立图 5（c）所示的杠杆转速图。假设输入件构件的转速为1，制动件构件转速为0，输出构件转速为该档位的转速线的长度，方向与x轴向同为正，相反为负，利用相似三角形的关系，求各档的传动比。设 AC= α、CE=b、ED=1、DB=c，其中，各档的传动比见表3。从转速图可知，三行星排这种并联布置形式可实现六个前进档，但这款变速器只采用前五档。

表3 5HP-24自动变速器各档传动比

4 结束语

（1）在教学中，首先让学生掌握杠杆法的工作原理，单行星齿轮排转速分析图的画法，这点很重要，是应用杠杆法的关键。

（2）画多行星排行星齿轮传动时杠杆图时，相互连接的部分重叠时合并为一个点，将杠杆分开时，连接点用一水平线来表示；保证连接部分合并点之间的力臂长度相等，并且各杠杆力臂长度比不变。

（3）杠杆法不但可以计算并联行星齿轮排的传动比，各构件的相对转速也可通过杠杆法转速图进行分析。

[1]杨可祯，程光蕴，李仲生.机械设计基础[M].北京：高等教育出版社，2006．

[2]陈家瑞，马天飞.汽车构造[M].北京：人民交通出版社，2006.

[3]李兴华，何国旗，等.效杠杆法分析行星齿轮传动[J].机械传动，2004，(1):44-45．