对FD－DB－Ⅱ型单摆实验仪功能的拓展

潘友华，陆法林，陈 峰

（盐城师范学院物理科学与电子技术学院，江苏盐城224051）

1 引 言

单摆实验在大学基础物理实验中是一个重要的必做实验，对此实验的研究也较多[1－5].我们实验室使用的上海复旦天欣科教仪器有限公司FDDB－Ⅱ型单摆实验仪，采用集成开关型霍尔传感器和电子计时器实现自动计时，能够在较少的几个振动周期内，精确地测得角振幅θ0（最大摆角）很小时的单摆周期，有效减少了计时误差，从而能比较精确地测得重力加速度.在使用该仪器的过程中发现，仪器的功能还可以进一步拓展，在该实验仪上增加了很少的几个配件，结果表明：除可使仪器操作更加方便、实验结果更加准确外，还能定量研究周期T与θ0的关系.

2 对装置的改进

改进后的装置如图1所示，主要添加了2个配件：

1）可计算角振幅的刻度板

如图2所示，刻度板是背面贴上薄平面镜的刻度尺，将刻度板水平固定在支架上，并可沿支架上下位置任意调整，这样可较为准确地读出小球在角振幅位置时摆线（摆线上端点到刻度尺上边的垂直距离为Y）的水平位移X，然后可以根据tanθ＝X／Y得出单摆的角振幅θ0.

2）电磁铁控制摆球的释放

图1 改进后的装置

图2 刻度板的构造

自制电磁铁如图3所示，通电时该电磁铁能吸住1个铁质摆球.电磁铁通过控制开关与电源相接，通电时摆球被吸住，断电时摆球由静止开始作自由摆动.将电磁铁固定于特制的支架内，通过此支架可以任意调整电磁铁的位置，支架可沿刻度板移动，应保证电磁铁的中心在摆球运动的平面内.

图3 电磁铁的构造图

3 实验内容的拓展

主要从周期与角振幅的关系和测重力加速度两方面作一些探讨.

3.1 周期与角振幅

以往单摆测重力加速度实验都局限在单摆在小角度（小于5°）内做近似等周期摆动的情况下，测量单摆周期，一般不涉及周期与角振幅之间的关系.小角度单摆的振动周期为T0＝2π，由于摆长l与g没有变化，因此小角度单摆的振动周期是常量，与角振幅θ0无关.

单摆的实际振动周期为[5]

略去高阶项，取一级近似有：

θ0很小时，取零级近似有：T＝T0＝2π.根据式（2）描绘的T／T0－θ0关系的理论曲线见图4.从图4可以看出，单摆的周期与角振幅有关，周期随角振幅的增大而增大，不是线性关系.

图4 实验曲线

以特定摆长下的角振幅与周期关系为例，不考虑空气阻力、摆线与悬挂点之间的摩擦力等因素，取摆线长度L1＝（75.60±0.05）cm，摆球半径L2＝（1.013±0.001）cm，摆长为：L＝L1＋L2＝（76.61±0.05）cm，盐城气象局提供的当地重力加速度值为g＝9.795 9m·s－2，由此可得T0＝1.757 1s.

角振幅可先测得X和Y，再由tanθ0＝X／Y求得.实验中测得不同角振幅下的周期，结果见表1（取Y＝0.720 0m）.

表1 周期与角振幅、的关系

表1 周期与角振幅、的关系

X／mθ0／（°）sin2θ0 T／s平均值0.046 5 3.70 0.001 040 1.758 1.758 1.758 1.758 1 21 2 3 4 5 6 7 8 9.758 1.756 1.758 1.756 1.757 1.757 4 0.080 5 6.38 0.003 096 1.758 1.758 1.758 1.759 1.759 1.759 1.758 1.759 1.758 1.758 4 0.114 5 9.04 0.006 205 1.760 1.760 1.760 1.760 1.759 1.760 1.760 1.760 1.760 1.759 9 0.120 5 9.50 0.006 859 1.760 1.759 1.760 1.761 1.760 1.760 1.760 1.761 1.761 1.760 2 0.145 5 11.42 0.009 907 1.761 1.762 1.761 1.762 1.762 1.760 1.762 1.762 1.762 1.761 6 0.165 5 12.95 0.012 708 1.763 1.762 1.763 1.7631.762 1.763 1.763 1.763 1.763 1.762 8

从图4可以看出，随着θ0增大T／T0逐渐增大，T／T0与θ0曲线的斜率也逐渐变大.实验曲线与理论曲线基本吻合，验证了单摆在角振幅较大时T／T0与θ0成非线性关系.

3.2 用单摆测重力加速度

用传统的手控计时方法，单次测量周期的误差可达0.1～0.2s，而多次测量又面临空气阻力使摆角衰减的情况，因而（2）式只能考虑到零级近似，而忽略.但是，当单摆振动周期可以精确测量时，可以考虑摆角对周期的影响，即可用一级近似公式.在此实验中，测出不同的θ0所对应的周期T，利用Excel绘出曲线，如图5所示，并将其外推，从截距得到单摆周期，从而更精确地测得重力加速度g.同时可得：相关系数r＝0.994 5，截距A＝1.757 0s，此即周期T.将T＝1.757 0s和θ0＝0代入（4）式，计算得到：g＝9.797 5m·s－2，该值与盐城当地重力加速度的公认值很接近，实验结果的相对偏差仅为0.016%.

图5 曲线

4 结束语

改进后的单摆实验仪可以通过刻度板计算出角振幅θ0，从而能定量研究周期T与角振幅θ0的关系.在测量重力加速度时，用曲线外推，从截距A得到周期T数据的处理方法得到更为精确的结果.电磁铁的添加保证了摆球运动的初速度为0，提高了小球做单摆运动的成功率，也增强了整个实验装置的可操作性.可保证摆球在一段时间内做单摆运动.

[1] 鞠衍清.任意摆角单摆运动周期的一个近似公式[J].沈阳工业大学学报，2006，28（2）：230－232.

[2] 韦德泉，王秋芳.单摆的角振幅对其周期的影响[J].洛阳大学学报，2003，18（2）：102－103.

[3] 夏清华，杨国海.两例非线性振动周期的计算[J].高等函授学报（自然科学版），1999（4）：28－30.

[4] 赵继红.单摆实验数据处理[J].太原师范专科学校学报，2001（3）：12－13.

[5] 杨述武，马葭生，贾玉民，等.普通物理实验（力学及热学部分）[M].3版.北京：高等教育出版社，2004：69－73.