基于计算机实测技术的双自由度振动规律验证

李 岩，封 玲

（深圳大学物理科学与技术学院，广东深圳518060）

1 引 言

振动系统的自由度等于描述振动系统运动所必须的独立坐标的数目，需要n个独立坐标来描述运动的系统称为n自由度系统.随着振动系统自由度的增多，振动问题的求解也越来越繁琐.由于多自由度系统的许多基本概念都可以通过研究双自由度系统来说明，而且双自由度系统振动问题本身在工程学、机械学上也有着重要的地位（如作为桥梁设计、机械制造等重要的参考量），因此，双自由度振动的实验和理论探索一直为人们所重视.

双自由度振动系统的运动情况比较复杂，研究文献[1－4]多根据牛顿定律推导出其运动方程，再利用数学软件对其进行数值模拟，给出其运动轨迹.本文旨在实验室建立双自由度振动系统，利用计算机实测技术对系统运动情况进行实时记录，进而得出其运动规律.

2 双自由度振动系统的理论概述

图1是典型的双自由度振动系统.该系统由劲度系数分别为k1和k2的2个轻质弹簧与质量分别为m1和m2的2个弹簧振子在竖直方向耦合组成.

为方便计算分析，取k1＝k2＝k，m1＝m2＝m，由牛顿定律可得以下结论[2，4]：

1）此双自由度振动系统有2个简正模，其频率可以分别表示为

图1 双自由度振动弹簧系统

2）系统中每个振子的运动均是这2个简正模的线性叠加，振子m1和m2的运动方程分别为

式（3）和（4）中的A11，A12，A21，A22分别为相应简谐振动的振幅，φ1和φ2则为相应简谐振动的初相位，均为待定系数，由振动系统的初始值确定.

3）双自由度振动系统具有固有振型，表现为式（5）和（6）表明上下2个振子运动中同频率分运动的振幅比为定值.

4）此系统的简正坐标可以表示为[5－7]

可见，2个简正坐标的振幅是相等的.为了方便和实验结果比较，文中主要采用了式（3）和（4）进行讨论.

3 双自由度振动规律的实验验证

3.1 实验装置

利用计算机实测技术对双自由度振动系统的运动过程进行监测[8－9]，主要采用美国Pasco公司的实测设备：运动传感器（型号：CI－6742，量程：15cm～8m）、力传感器（型号：CI－6537，量程：－50～50N）、Science Workshop 750接口以及DataStudio数据采集处理软件等.

图2给出了双自由度振动系统及其测量装置，力传感器与弹簧k1连接，负责监测弹簧k1在竖直方向上对振子m1的拉力变化情况；平台底端用运动传感器实时记录振子m2在竖直方向上的运动轨迹.在竖直方向上让系统起振，当振动稳定后，开始采集数据.

装置中所使用的2个轻质弹簧质量均为19.4g，劲度系数k1＝k2＝33.0N／m；振子质量m1＝m2＝209.0g.

图2 双自由度振动系统及其测量装置图

3.2 测量结果与分析

3.2.1 竖直方向上振子m1的运动情况

通过力传感器采集的数据可以得到弹簧在竖直方向上对振子m1的拉力大小随时间变化的关系曲线，如图3所示.

图3 k1对振子m1拉力随时间变化关系曲线

根据胡克定律ΔF＝－kΔx（其中k是弹簧的劲度系数，Δx是弹簧长度的变化量），可以将力传感器采集到的拉力变化信号转换为m1的位移变化信号，得到振子m1的位移随时间变化的关系曲线（见图4），然后利用式（3）进行实验数据拟合，拟合曲线见图4，拟合数据见表1.

图4 弹簧振子m1位移随时间变化关系曲线

3.2.2 竖直方向上振子m2的运动情况

通过运动传感器采集数据，可以得到弹簧振子m2的位移随时间变化的关系曲线（见图5）.同样，对其采用式（4）进行实验数据拟合，得到拟合曲线（见图5）和相应拟合参量（见表1）.

图5 弹簧振子m2位移随时间变化关系曲线

3.2.3 测量结果与分析

从图4与图5中可以看出，实验测得的m1和m2运动轨迹数据与拟合曲线吻合很好，将实验所得参量进行整理，见表1.

表1 振子m1和m2振动情况列表

可得出以下结论：

1）由T1＝0.808s，T2＝0.308s，得到双自由度振动系统的2个简正频率ω1与ω2的实验测量值为

2）由A11＝0.017 2m，A12＝0.006 29m，A21＝0.028 1m，A22＝－0.003 93m，得到双自由度振动系统运动方程的分振幅；由φ1＝0.642rad和φ2＝（0.615＋0.618）／2rad＝0.616rad，得到双自由度振动系统运动的初相位.

由以上数据可得系统运动方程分别为

式中u1和u2的单位为m.

由式（1）～（2）和（5）～（6）及弹簧劲度系数k、振子质量m值可计算得到双自由度振动系统的简正频率及固有振型的理论值，所测得的实验值与理论值见表2[3，10].

表2 实验值与理论值

4 结束语

双自由度振动是研究n自由度振动的基础，采用计算机实测技术在实验室测量记录了2个振子各自的振动情况，并对记录数据进行了处理分析，得到振子的运动规律，实验值与理论值吻合得很好.

[1] 杨正波，夏清华.耦合弹簧振子系统的研究[J].高等函授报（自然科学版），2008，22（1）：15－17.

[2] 张策.机械动力学[M].2版.北京：高等教育出版社，2008：140－154.

[3] 李平.大学物理实验[M].北京：高等教育出版社，2004：24－41.

[4] Rao S S.机械振动[M].李欣业，张路明，译.北京：清华大学出版社，2009：267－276.

[5] 佘守宪.弹簧耦合摆小振动的简正模与简振频率[J].大学物理，1998，17（8）：15－17.

[6] 周衍伯.理论力学教程[M].2版.北京：高等教育出版社，1986：299－309.

[7] 马文蔚.物理学（下册）[M].5版.北京：高等教育出版社，2007：39.

[8] 许裕粟，蒋甲生，朱勇，等.韦氏耦合摆共振机理探索[J].物理实验，2008，28（3）：35－37.

[9] 呼格吉乐.改进DIS实验系统中的“弹簧振子的振动图像实验”[J].物理实验，2010，30（5）：22－23.

[10] 吴泳华.大学物理实验（第一册）[M].2版.北京：高等教育出版社，2005：8－19.