1PN近似下脉冲星导航的观测方程及精度分析

任红飞，魏子卿，翟振和，吴富梅

1.信息工程大学测绘学院，河南郑州450052；2.西安测绘研究所，陕西西安710054

1 引 言

观测方程是处理脉冲星观测数据的基础，用脉冲星自主导航时，观测方程的精度决定脉冲星导航的精度，也影响脉冲星星表参数的精化。反过来，高精度的脉冲星历表参数又有利于提高观测方程的精度，进而提高导航性能。高精度的观测与参数精化是一个经长期观测，相互促进的过程。

广义相对论是现今最精确的引力理论。对于高精度的脉冲星导航而言，广义相对论效应是必须考虑的因素，在相对论框架下给出观测方程的高精度表达式是实现脉冲星精确导航的前提。文献［1—2］分别推导了1阶后牛顿（1PN）度规形式下的脉冲星计时表达式。比较而言，文献［1］的推导更为严格，考虑了太阳引力场对信号传播的弯曲效应，但推导过程与结论不够准确。2005年，文献［3］重新给出1PN度规形式下脉冲到达时间（TOA）的正确表达式，但没有进行详细推导。当前，脉冲星计时精度约为1μs，脉冲星导航也处于试验验证阶段。受脉冲星观测精度的限制，一些影响相对较弱的误差源还未被考虑。随着观测技术的改进，将需要分析更多误差源对观测的影响。笔者通过分析以上文献的研究结论，并参考其他相关文献［4－17］，完整推导1PN度规形式下脉冲星导航的观测方程，以此为基础，对影响导航性能的主要因素进行分析。

2 X射线脉冲星导航的观测方程

用X射线脉冲星为飞行器导航时，通常的处理方式是：将空间飞行器观测的TOA转化至某个基点，与基点处的TOA模型组成差分方程。在当前的研究中，一般以太阳系质心（SSB）为基点，将飞行器处的TOA转换至SSB。

为推导1阶后牛顿（1PN）度规形式下脉冲星导航观测方程，在此只考虑太阳系以内天体的相对论效应，而将太阳系以外天体的相对论效应视作常量［1－2］。

脉冲星的脉冲是由一个周期内的光子累积而成的，每个光子在空间沿自己的世界线传播。根据相对论理论，电磁信号在时空中传播的世界线为零测地线，即时空间隔为零。其有表达式为

式中，ds2为线元的平方；dxμ、dxv为坐标增量；gμv为时空度规，是观测者处时空位置的函数，由爱因斯坦场方程求解得到。由于爱因斯坦场方程的高阶非线性和星体质能分布的复杂性，一般不可能得到gμv的严格解。实际应用中所采用的时空度规都是在某种近似条件下得到的结果。

对于太阳系这样的弱场、低速时空，IAU在第24届决议中推荐使用后牛顿度规，该度规满足线性叠加原理。时空间隔在1PN形式下的表达式为［3，11］

式中，c为真空光速；U为太阳系所有天体引力势的线性叠加。由式（2）可得

将式（3）按级数展开至O （1／c）2项，得

式（4）即为1PN度规形式下，时间间隔、空间间隔与天体引力势的关系式。对此关系式沿传播路径积分，即可得到脉冲由脉冲星至飞行器的传播时间。为此建立如图1所示的坐标系，以太阳质心、脉冲星和飞行器3点所确定的平面为xy平面，取x轴平行于光线传播方向，y、z轴按右手定则确定。其中d为太阳质心至信号传播路径的距离；di为太阳系内天体Mi至信号传播路径的距离，一般不在xy平面内；D、p分别为太阳质心至脉冲星与飞行器的矢量；＾nS、＾nSC分别为太阳质心与飞行器到脉冲星方向的单位矢量；脉冲发射时刻为tT，到达空间飞行器的时刻为tSC。在此假定光线在太阳系内传播时，各个天体处于tSC时刻的位置，并考虑太阳引力场的弯曲效应。

图1 信号由脉冲星到达太阳质心与飞行器的示意图Fig.1 The path of a signal from the pulsar to the spacecraft

在太阳引力场中，类光测地线满足下式［1］

式中，GM为太阳引力常数。根据初始条件dy／dx＝0，x＝Dx，y＝d，可求得空间轨迹解为

式中，D为矢量D的长度。对式（6）两边关于x求倒数，得

为计算信号的传播时间，需沿信号传播路径积分。由于信号传播轨迹在xy平面内，故有z＝ 0，将式（4）的空间间隔部分按级数展开，忽略O （dy2／dx2）可得

将式（7）代入到式（8），则等式右端只有唯一变量x，容易对等式两端积分，得到信号沿路径的传播时间为

式中，PBSS为太阳系天体总数；D为脉冲到达时，脉冲星相对于太阳质心的位置；p表示飞行器接收到第N个脉冲时相对于太阳质心的位置；pi、Di为飞行器接收到脉冲时，飞行器和脉冲星相对于第i个行星的位置。式（9）即为在太阳质心坐标系中，脉冲到达飞行器的TOA表达式。若假想飞行器运动到SSB，则可用与式（9）相同的原理，得到在太阳坐标系中，脉冲到达SSB处的表达式。假定SSB在太阳质心坐标系中的位置为b，相对于第i个行星的位置为bi，SSB至脉冲星的单位矢量为，在式（9）中，以b代p、以bi代pi、以代，即可得到SSB处的TOA表达式。在推导出飞行器的TOA与太阳系质心的TOA方程之后，将两式求差即可得到导航观测方程。具体形式为

式中，dSSB为信号到达SSB时，太阳质心至信号传播路径的距离；dSC为信号到达飞行器时，太阳质心至信号传播路径的距离。以下将利用数值计算方法，对观测方程精度进行分析。

3 观测方程的精度分析

为分析脉冲星导航观测方程的精度，给定以下计算条件：① 模拟绕地飞行器的轨道根数见表1；②3颗脉冲星的参数信息见表2；③太阳系内各个天体的位置由JPL行星星历给出；④计算的起始历元为2010－01－01（55 197.0MJD），时间跨度1000d。

表1 飞行器轨道根数Tab.1 Orbit elements of the spacecraft

表2 X射线源的参数值［3，6－7］Tab.2 Parameters of X－ray sources［3，6－7］

3.1 相对论影响分析

在表达式（10）中，脉冲星导航的相对论效应由两部分组成：一是太阳系天体的引力时延（第3、4项）；二是太阳引力弯曲时延（第5、6项）。这两部分时延对脉冲星观测时间的影响分别如图2、图3所示。

图2 太阳系天体的引力时延Fig.2 Time delay of the gravity by bodies of the solar system

从图2中可看出，由于脉冲星位置不同，脉冲信号所受引力时延的影响不同。但均呈现周年变化，这是由地球公转所致。考虑到太阳绕SSB的公转，引力时延还应有一个约为12a的变化周期。图3是太阳引力弯曲导致的时间延迟，其量级小于1ns，在目前脉冲星观测精度下可忽略。

图3 太阳引力弯曲Fig.3 Time delay of the path bending by the Sun

3.2 脉冲星星表误差的影响

脉冲星历表是脉冲星导航的基础，其误差对脉冲星导航性能具有重要影响。为推导脉冲星星表参数误差与观测时间之间的关系式，忽略式（10）中的引力弯曲效应，将真空光行时部分按级数展开至二阶。由于脉冲星距离遥远，可近似认为脉冲星相对于SSB和飞行器的方向相同，即有，由此可得表达式

由式（11）可求观测时间对脉冲星位置（赤经、赤纬）与距离的偏微分，得到以下表达式

式中

假定脉冲星距离的系统偏差为距离值的10%，位置的系统偏差为0.001″，可得到在不同时刻，它们对观测时间的影响，如图4、图5所示。

图4 脉冲星距离偏差对观测时间的影响Fig.4 Timing error due to the distance deviation of pulsar

图5 脉冲星位置偏差对观测时间的影响Fig.5 Timing error due to the direction derivation of pulsar

由图5、图6可以看出，不同脉冲星距离和位置的偏差引起的测量误差均呈现相同的周期性，周期为半年，但幅值不同。距离偏差对观测时间的影响相对较小，且与脉冲星的距离成反比；而位置系统偏差对观测时间的影响较大，0.001″的偏差对观测精度的影响可达数微秒，且与脉冲星位置有关。

假定脉冲星距离的随机误差均值为0，均方差为距离值的5%，位置的随机误差均值为0，均方差为0.000 5″，对于不同的脉冲星，参数的随机误差对观测时间的影响如图6、图7所示。

图6 脉冲星距离的随机误差对观测时间的影响Fig.6 Timing error due to the random error of pulsar distance

图7 脉冲星位置的随机误差对观测时间的影响Fig.7 Timing error due to the random error of pulsar position

图6中脉冲星距离的随机误差引起的测量误差在±30ns之间；图7中脉冲星位置随机误差引起的测量误差在±3μs之间。当前脉冲星历表的位置参数精度大多低于0.001″，可见脉冲星位置参数的精化是提高时间测量精度的关键。

3.3 行星星历误差的影响

JPL行星星历在天文精密观测的分析与归算、引力定律检验、行星探测计划、卫星导航以及深空导航中得到广泛应用。其不同版本根据不同需求而制定，在精度有差异。为分析不同行星历表之间的差异，以下选择DE200、DE403、DE405以及DE423进行比较，对于地球在太阳系质心坐标系中的三维位置而言，不同星历在相同历元的差值如图8所示。

图8 地球的太阳系质心位置之差Fig.8 Difference in position of the geocenter in the barycentric system

由图8可见，DE200与DE405的坐标差异最大，可达数十千米，且有一定的系统性。DE403与DE405之间的差异主要表现在x、y方向，z方向的互差较小，且呈周年变化；而DE423与DE405之间的差异更小，最大差值约1km，也呈现周年变化，这说明DE系列的后续历表逐步精化。为分析历表差异对时间测量的影响，以表3中的3颗脉冲星为例，分析不同行星星历在相同历元，对飞行器观测时间的差值如图9所示。

由图9可见，DE200与DE405的差值可达毫秒量级；DE423与DE405的差值较小，对于Crab和B1821－24脉冲星，变化范围为±2μs；对于B1937＋21脉冲星，变化范围为±4μs。可见行星星历的精化对观测精度的提高具有重要意义。

图9 不同行星星历引起的时间差Fig.9 Timing difference due to the different planet ephemeris

3.4 星体扁率的影响

在脉冲星导航观测方程中，通常将星体作为质点或均质球体近似处理。对于有些星体，如木星，其质量大、自转快，实际形状更接近于两极略扁的球体，因此，有必要讨论其非球形的引力摄动对观测时间的影响。由引力理论可知，顾及扁率的星体外部点的引力位为可表为［18］

式中，m＝4π2a3（1－f ）／T2GM；f为扁率，e＝为椭球第一偏心率。由星体扁率引起的引力位的改正位可表为

该改正位对观测时间的延迟影响为

式中，x1＝cosθ1；x2＝cosθ2；θ1、θ2为外部点到星体自转轴之间的极距。由于星体自转平面与公转平面一般不同，除地球外，其他星体的公转平面对自转平面的升交点位置未知，故外部点相对于星体自转轴的极距难以得到。如只对改正位的时延量级作分析，可由以下方法进行评估。

可得由星体扁率引起的时延δt满足

根据式（19）即可对改正位的时延作量级分析。若考虑太阳系天体的基本参数如表3所示，根据式（15）可计算得到各星体的带谐项系数。

表3 各星体的基本参数［19－20］Tab.3 Parameter of each celestial body［19－20］

在式（19）中，取n＝3，可得在不同时刻，星体的扁率对观测时间的影响，见图10。由图10可见，太阳扁率对绕地飞行器观测时间的影响最大，但其最大量级也只有10－12s，导航中可忽略。

图10 顾及各星体扁率对信号传播路径的时延修正Fig.10 Time correction of transmitting path by the flattening of bodies

4 结 论

本文综合相关研究成果，完整推导了1PN形式下脉冲到达时间转换方程。分析了脉冲星观测方程中的相对论效应；独立推导了观测时间误差与脉冲星历表误差之间的解析关系式和顾及星体扁率的观测时间延迟表达式；分析了脉冲星距离误差、位置误差对观测时间的影响；比较了不同行星星历之间的差异，分析了这些差异对脉冲星观测的影响；分析了星体扁率对观测时间的延迟量级。主要结论有：

（1）太阳系天体对信号传播路径的引力时延可达几十微秒，在精确的观测方程中需要考虑；太阳对信号传播路径的弯曲所引起的时延较小（＜1ns），在当前的测量精度下可不考虑。

（2）脉冲星位置误差对时间方程的影响较大，距离误差影响相对较小，在当前情况下，通过长期观测，逐步精化脉冲星历表，尤其是位置参数，是提高观测精度的有效途径之一。

（3）行星星历误差可引起数微秒的观测时间误差，且对不同脉冲星影响不同。

（4）星体扁率对观测时间的延迟很小，在近地飞行器自主导航中可忽略。

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