篮球的旋转对提高投篮命中率的力学分析

王成军，郑 旗

篮球比赛中，投篮是得分的唯一方法，也是决定比赛胜负的关键所在。影响投篮命中率的因素很多, 如队员的身体素质、心理状态、投篮技术、投篮时机的把握以及投射角和入射角等等。而在投篮技术的教学与训练中，投篮动作、瞄准方法、投篮弧线轨道及球的旋转等又是影响投篮命中率的重要因素。本文拟从动力学的角度，对篮球的旋转球飞行轨道以及投篮命中率进行一些理论上的分析与探讨，以期为篮球教学与训练提供有意义的指导。

1 旋转球的动力学分析

投篮动作从准备姿势开始，通过下肢用力蹬地、腰腹向上伸展、抬肘、手臂向前上方伸展、手腕前屈、手指拨球、用全身综合协调的力量将篮球投出。其中，抬肘时伸臂举球和手腕前屈与手指拨篮球的力量，是控制与调节身体各部位用力、决定投篮出手角度和速度及篮球的旋转，从而影响投篮命中率的关键。一般中远距离高手投篮时，应使篮球沿横轴向后旋转，在篮下侧面碰板投篮时，应使篮球侧向旋转，而行进间单手和双手低手投篮时，应使球向前旋转。

1.1 前旋球的运动规律

平动的篮球在飞行中只受重力和空气阻力作用，空气阻力使篮球速降低，其飞行轨迹是一条平面曲线。如果让篮球旋转着飞行，由于空气的粘滞性，球表面的空气层随篮球一起旋转，形成绕球的环流层(见图1)。

设环流的角速度为w，球向前的平动速度为V，以球为参考系，根据相对运动原理，可认为气流以速度为V从前方迎着球的运动方向流来。来流与环流合成的结果，导致篮球两侧形成流速差，在来流与环流同向的一侧流速增大，另一侧流速则减小。根据伯努利定律，流速增大的一侧压力将减小，而流速减小的一侧压力增大，从而在篮球的两侧引起压差力，这个压差力称为Magnus力(见图2)。它始终与运动方向垂直，不断改变篮球的飞行方向，形成弧线球。Magnus力可由儒可夫斯基环流理论计算给出：

(1)

图1飞行中球的旋转

图2运动中球体Magnus力示意图

以篮球的投出点为坐标原点，建立直角坐标系(见图3)，其中OZ轴竖直向上。假设篮球初始时绕OX轴旋转顺时针旋转(迎着x轴看)，忽略空气阻力矩，由角动量守恒，则篮球始终绕OX轴旋转，因此，Magnus力总是在竖直平面内并指向轨道内侧法线方向，大小为FM=Gwυ。考虑到重力在切线方向的分量较小，将其忽略对结果影响不大，于是篮球的运动微分方程简化为：

(2)

(3)

图3前旋球和后旋球的运动轨迹

对(2)式积分并利用初始条件t=0,υ=υ0，可得

(4)

(5)

进一步，考虑到ds=Rdθ，代入(3)式并利用(4)可得

女性妊娠与分娩的这段时间里，是家庭变故的高发期，性生活的缺失，激素水平的变化，令女性的情绪容易波动，如果再有其它因素的影响，家庭矛盾发生的可能性较大。在这种情况下，女性遭遇情绪抑郁的几率会大大增加。

(6)

其中α为篮球的出手角度,w0为篮球初始时的角速度。

由(5)、(6)两式，可知篮球轨迹的曲率半径为：

(7)

1.2 后旋球的运动规律

向后旋转的篮球，在运动受力中过程与前旋球类似(重力mg，空气阻力f=fυ2以及Magnus力FM)。在图3所示直角坐标系中，后旋球初始时绕OX轴逆时针方向旋转，因此Magnus力总是在竖直平面内并指向轨道外侧法线方向，大小为FM=Gwυ。于是篮球的运动微分方程简化为

(8)

(9)

可得篮球的运动规律为

(10)

(11)

(12)

(13)

1.3 侧旋球的运动规律(见图4)

(14)

(15)

(16)

图4侧旋球的运动轨迹

设t=0时，z=0，V=V0仰角α=α0，由(2)式可得：

(17)

类似的处理，求解方程(15)和(16)，并利用初始条件t=0,υ=υ0=V0cosα0，可得

(18)

(19)

(20)

(21)

联立(18)式、(20)式，篮球在水平方向的位移：

(22)

(23)

将(22)式和(23)式联立，消去时间t，则篮球在水平面内运动的轨迹为：

(24)

(25)

显然，篮球轨道的曲率及横向偏移量与初速度υ0与初角速度w0呈正相关，而这两个量的值主要取决于篮球队员手指最后的用力动作。

2 前旋球对投篮命中率的影响

投篮命中率通常有空心入网、碰板中篮以及碰圈入篮等几种情形，下面我们以前面推导出的运动规律为依据，通过分析篮球的受力情况并利用速度的合成来定性讨论不同情况下的投篮命中率。

2.1 空心入篮的命中率

前旋球的运动轨迹由运动规律见(7)式，与非旋转球相比，前旋球的轨道曲率增大，表明篮球飞行的水平距离缩短且下落加快。对于行进间和篮下双手低手投篮，球员速度大，出手点高并且距球篮近，因此篮球在空中飞行的距离很短，故此时应利用前旋球空心入网，可以提高投篮命中率。

2.2 篮球与篮板发生碰撞

篮球入篮前若与篮板发生碰撞，其受力情况见图5，N为发生碰撞时篮板(篮圈后沿)作用在篮球上的正压力，方向垂直于篮板，G为篮球所受的重力，f为由于篮球的旋转，施加在篮球上的滚动摩擦力。碰撞前篮球质心的速度方向沿轨迹的切线方向，反弹后合速度v的方向如插图所示，θ代表此时的入篮角。与非旋转球相比，由于非旋转球与篮板接触时所受的摩擦力为滑动摩擦力，而通常情况下，滚动摩擦力远小于滑动摩擦力，故速度沿z方向的分量增大，入射角将大于非旋转球，即能增大篮球的命中几率。

图5前旋球碰篮板

2.3 球与篮圈发生碰撞

为方便分析, 将与篮球的飞行路线较远侧的篮圈称为篮圈后沿, 与篮球的飞行路线较近侧的篮圈称为篮圈前沿。与篮圈后沿碰撞时篮球的受力见图6所示，由于碰撞，篮圈施与篮球的正压力沿球的半径方向并通过质心指向外侧，方向视篮球与篮圈接触点的不同而不同，碰后合速度的方向，与空心入篮和碰板入篮相比，入篮的几率要小很多；相反，若前旋球是与篮圈前沿发生碰撞，此时篮球的受力情况见图7。由于篮球的前旋，作用在篮球上的滚动摩擦力沿接触点的切线方向，其作用效果是阻碍篮球的滚动，方向与非旋转球所受的滑动摩擦力的方向相反。因此，速度沿摩擦力方向的分量增大，这将增大篮球向前滚动中篮的几率，而合速度的方向更趋近于篮圈平面。根据篮球前旋的运动规律，篮球被弹起后沿水平方向运动距离缩短并迅速下落，因此，前旋球与篮圈前沿碰撞也能增大投篮命中率。

图6前旋球碰篮圈后沿

图7前旋球碰篮圈前沿

3 后旋球对投篮命中率的影响

3.1 空心入篮的命中率

后旋球的运动轨迹见图3中虚线。由后旋球的运动规律(10)—(13)式可见，与前旋球相比，由于此时Magnus力沿轨道法线外侧，篮球沿竖直方向的加速度减小，在投篮出手角和出手速度一定的情况下，篮球在空中飞行的时间将变长，且飞行弧度变高。这意味着更长的飞行距离。因此后旋球更适宜于中、远距离投篮，有助于篮球在空中飞行的稳定性，提高空心入网投篮命中率。

3.2 球与篮板发生碰撞

后旋球与篮板发生碰撞的受力见图8所示。

图8后旋球碰篮板

由于球体后旋，篮板施与篮球的滚动摩擦力方向是沿篮板平面向下的，与不旋转的篮球或前旋球相比，速度沿Z方向的分量υ2大大增加，合速度的方向更倾向于指向篮圈，增大了入篮角度，因此更有利于中篮。而且篮球的旋转程度越高，其轨迹的曲率也越大，可以进一步提高投篮的命中率。

3.3 篮球与篮圈发生碰撞

后旋球与篮圈后沿碰撞时篮球的受力见图9、图10所示。篮球滚动摩擦力的方向与速度分量υf同向，合速度的方向随碰撞点不同而导致的正压力方向的不同而变化。篮球进入篮圈的部分越多，合速度的方向越趋向于指向篮圈的方向, 在一定程度上可增加篮球中篮的可能性。若后旋球碰到篮圈的前沿, 受力情况与碰到后沿时类似，但滚动摩擦力的方向与速度分量υf反向，故投篮命中率要小于与后沿相碰时的命中率。

图9后旋球碰篮圈后沿

图10后旋球碰篮圈前沿

4 侧旋球对投篮命中率的影响

侧旋篮球的运动轨迹弯曲程度较大，根据运动轨迹的特点可知，当运动员位于篮板左侧且与篮板夹角很小时，使篮球顺时针方向(由上往下看，即向篮圈侧)旋转在一定程度上能增加空心球的命中率，右侧亦然。一般来说，侧旋球经常用于失去角度的篮下碰板投篮。篮下区域历来是攻防必争之地，由于对方防守严密, 进攻队员很难在篮下找到恰当的瞄准点直接完成投篮动作，此时侧旋球的碰板投篮显示出了不可替代的优越性。

沿顺时针方向旋转的篮球与篮板碰撞时的受力情况(见图11)，f是由于球的侧旋篮板作用在篮球上的滚动摩擦力，其方向沿X轴正向。反弹后合速度的方向沿左下方，因此，顺时针旋转的篮球偏篮圈右一点投篮会有较大的可能进入篮圈。而且篮球侧旋的角速度越大，轨迹的横向偏移量越大，则应越偏右投篮；同理，逆时针旋转的篮球碰篮板后将向右下方运动，因此应偏左一些投篮，增大篮球的旋转角速度后篮球的碰板点亦应偏左。可见，通过改变篮球侧旋的角速度，篮球的碰板点有一个较大的选择范围，故而能较大程度地提高投篮命中率。

图11侧旋球碰篮板

5 结论

本文从动力学的角度出发，讨论了投篮技术涉及的几种不同旋转形式的篮球运动规律，在此基础上通过对篮球的受力分析，运用速度的矢量合成法则分析了其对投篮命中率的影响，得到以下结论：

(1) 篮球的旋转是影响投篮命中率的重要因素之一, 在训练和教学中应给予足够的重视。

(2) 前旋球适用于行进间和篮下低手投篮，球与篮板或篮圈前沿碰撞能增大投篮命中率。

(3) 后旋球适用于中、远距离投篮，篮球与篮板或篮圈后沿碰撞可以提高投篮命中率。

(4) 侧旋球能加大篮下进攻的威力, 改变篮球侧旋的角速度，篮球碰板点的选择范围增大，能较大程度地提高投篮命中率。

[1] 孙民治.篮球运动高级教程[M].北京:人民体育出版社,2000.

[2] 赵凯华,罗蔚茵.力学[M].北京:高等教育出版社,1996.

[3] 刘定一.现代大学体育[M].北京:北京体育大学出社,2006.

[4] 陈辉太.旋转球对正碰篮板球命中率影响的生物力学分析[J].体育与科学,1997,18(2):18～20.

[5] 葛隆祺,叶卫军.足球旋转球的运动规律[J].物理通报,1999,2(2):7～8.

[6] 朱浩,包云.篮球的旋转与投篮命中率之间的关系[J].南京体育学院学报,2006,5(1):33～35.

[7] 曹则贤.足球也科学:力道与旋转[J].物理,2010,39(7):480～481.