关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2p2y3

石 增，高 丽

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

1 主要引理

长期以来，丢番图方程一直是数论中引人关注的研究课题，纯粹数学和应用数学中很多问题都可以归结为此类方程的求解问题。设N+是全体正整数的集合，p是奇素数，1996年曹珍富［1］讨论了方程x(x+1)(x+2)=2py2，x，y∈N+，当 x 为奇数时解的情况.文献［2］讨论了方程 x(x+1)(x+2)=2py2当x为偶数时解的情况。2011年崔保军［3］讨论了方程x(x+1)(x+2)=2py3的解，并且证明了方程x(x+1)(x+2)=2py3仅有一正整数解(p，x，y)=(3，1，1). 本文讨论了方程

的解，并证明了此方程没有正整数解。

引理1［4］方程 x2－1=yn，x，y，n∈N+，n≥2仅有正整数解(x，y，n)=(3，2，3).

引理2［5］设 a，b是给定的正整数，b＞1且不被6k+1型素数整除，则方程 x3－by3=1，b＞1，xy≠0除了b=2仅有解(x，y)=(－1，－1)，b=9仅有解(x，y)=(－2，－1)，b=17 仅有解(x，y)=(18，7)和 b=20仅有解(x，y)=(－19，－7)外，其它情况均无整数解。

引理 3［6］不定方程 x3+y3=z3， x，y，x∈Z，无xyz≠0的解。

由引理2可以得到引理4。

引理4 方程x3+1=2y3仅有正整数解(x，y)=(1，1)，方程 x3－1=2y3仅有正整数解(x，y)=(－1，－1)。

2 结果及证明

定理 丢番图方程x(x+1)(x+2)=2p2y3没有正整数解。

证明 用反证法。设方程(1)有正整数解(x，y)，因(x+1，x(x+2))=1，故存在正整数 a，b 使得方程(1)存在下面四种情况:

由式(2)有(2p2a3)2－1=b3，根据引理1可知，该情况下方程(1)无解。

由式(3)有(p2a3)2－1=2b3，即(p2a3－1)(p2a3+1)=2b3，易知p2a3为奇数，此时有(p2a3－1，p2a3+1)=2，故存在不为零的正整数 c，d 使得p2a3－1=2c3，p2a3+1=(2d)3，或 p2a3－1=(2c)3，p2a3+1=2d3，其中:c，d 是满足(c，d)=1，cd=b的正整数，此时有c3－4d3=1，或d3－4c3=1，由引理2可知，该情况下方程(p2a3)2－1=2b3无解，即方程(1)在这种情况下无解。

对于(4)式，我们有(a3)2－1=2p2a3，因为 a为奇数，所以有(a3+1，a3－1)=2，由此我们有

其中:c，d 是满足(c，d)=1，cd=b 的正整数。

由引理3可知，该情况下方程(1)无解。

由式(5)得(2a3)2－1=p2b3，因为(2a3－1，2a3+1)=1.所以有

其中:c，d 是满足(c，d)=1，cd=b 的正整数。

当2a3+1=c3时，即c3－1=2a3，那么由引理4可知(6)式无正整数解.则此时式(1)无正整数解。

当2a3－1=d3时，即 d3+1=2a3，由引理4可知2a3－1=d3仅有正整数解(d，a)=(1，1)，代入2a3+1=p2c3式得:3=p2c3，此式无正整数解。证毕。

［1］崔保军.关于丢番图方程 x(x+1)(x+2)=2py2［J］.高师理科学刊，2010，30(2):35－37.

［2］曹珍富.数论中的问题与结果［M］.哈尔滨:哈尔滨工业大学，1996:124－125.

［3］崔保军.关于丢番图方程 x(x+1)(x+2)=2py3［J］.高师理科学刊，2011，31(2):25－26.

［4］柯召.关于丢番图方程x2=yn+1，xy≠0［J］.四川大学学报:自然科学版，1964，14(4):457－460.

［5］曹珍富.丢番图方程引论［M］.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，1989:219－221.

［6］潘承洞，潘承彪.初等数论［M］.北京:北京大学出版社，1991:298－303.