水平转台上圆周运动模型的构建及应用

薛华国 周栋梁

(灌南高级中学 江苏 连云港 222500)

研究水平转台上的圆周运动，需要学生构建起相应的物理模型；在此基础上，再对物体的受力、临界状态等方面进行分析.这是高中物理教学中的一个难点，突破关键是物理模型的构建.本文从两个基本模型出发，构建起水平转台上圆周运动的物理模型.

1 两个基本模型

对于水平转台上的圆周运动问题，有如下两个最基本的物理模型，它们是构建水平转台上圆周运动模型的基础.

1.1 基本模型1

如图1所示，在光滑的水平转台上，一长为l的细线，一端拴一质量为m的物块，另一端拴在转轴上.物块以角速度ω做匀速圆周运动.

在这一物理模型中，细线的拉力提供物块做圆周运动的向心力，即

T=mlω2

图1 图2

1.2 基本模型2

如图2所示，在水平转台上距转轴l处放一质量为m的物体，它与转台之间的动摩擦因数为μ，随同转台一起以角速度ω做匀速圆周运动.设物体与转台间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下模型中同此条件.

在这一物理模型中，台面对物体的静摩擦力提供小球做圆周运动的向心力，设其随同转台一起做圆周运动的最大角速度为ω，则有

2 构建的模型

模型构建的策略是在两个基本模型的基础上，建立起相应的物理模型.

2.1 核心模型的构建

在图1的水平转台(设转台的上表面粗糙)上有一长为l的细线，一端系一质量为m的物体，另一端系在转轴上.它与转台之间的动摩擦因数为μ，随同转台一起以角速度ω做匀速圆周运动.

这是水平转台上圆周运动问题中最为重要的物理模型.它是由以上两个基本模型结合而成，是解决此类问题的核心.可称之为核心模型.

对此核心模型，绳子拉力是被动性的，在物体与转台之间的静摩擦力达到最大时，此时转台的角速度设为ω0，则有

解得

当ω>ω0时，细线开始出现拉力，此时物体做圆周运动的向心力由绳子拉力T和最大静摩擦力共同提供，即有

T+μmg=mlω2

2.2 基本模型与核心模型间的结合

在构建起核心模型的基础上，通过基本模型与核心模型间的结合，可以构建起如下3个经典模型.

(1)经典模型1

如图3所示，在水平转台上放置质量分别为M和m的两物体，M置于转轴上，两物体用绳子连接，连线沿半径方向.它们与转台间的动摩擦因数都为μ.

(2)经典模型2

如图4所示，在水平转台上放置质量分别为M和m的两物体，置于圆心的同侧，两物体用绳子连接，连线沿半径方向.它们与转台间的动摩擦因数都为μ.

图3 图4

对于以上两个经典模型，存在两个临界状态:一是转台的角速度ω达到多大时，绳子开始有拉力；二是转台的角速度ω达到多大时，系统与转台发生相对滑动.

基于以上特点，与此模型相对应的基本的命题方式是求出相应的临界角速度.拓展性的命题方式是作出系统与转台不发生相对滑动时，绳子拉力的F-ω2图像.

(3)经典模型3

图5

如图5所示，水平转台可绕竖直中心轴转动，平台上叠放着两个大小均可不计的物块A和B，B物块用长为l的细线与转轴相连，A与B间的动摩擦因数为μ1，B与转盘间的动摩擦因数为μ2.

对此模型，需要判断A，B两物体是先分离，还是绳子先有拉力，然后A，B两物体再分离.为此，需对以下两种情况进行讨论.

1)当μ1<μ2时，存在两个临界状态：一是转台的角速度ω达到多大时，A从B上飞出；另一个是ω达到多大时，绳子开始有拉力.

2)当μ1>μ2时，存在两个临界状态：一是转台的角速度ω达到多大时，绳子开始有拉力；另一个是角速度ω达到多大时，A从B上飞出，其中在A从B上飞出前后，绳子拉力有突变.

2.3 核心模型间的结合

在水平转台上的圆周运动模型中，还有一类经典模型，它是通过核心模型间的演化而构建起来的,也称为经典模型4.

如图6所示，在水平转台上放置质量分别为M和m的两物体，置于圆心的两侧，其间用绳子连接，连线方向沿半径方向，它们与转台间的动摩擦因数都为μ(设m离转轴较近).

图6

对此模型，可以认为是由两个核心模型演化而成，它存在三个临界状态:一是转台的角速度ω达到多大时，绳子开始有拉力；二是转台的角速度ω达到多大时，m所受静摩擦力等于零；三是转台的角速度ω达到多大时，系统与转台发生相对滑动.

基于以上特点，与此模型相对应的基本的命题方式是求出三种临界情况的角速度.拓展性的命题有：

(1)作出系统与转台不发生相对滑动时，绳子拉力的F-ω2图像;

(2)作出系统与转台不发生相对滑动时，m所受静摩擦力大小Ff-ω2图像.

在以上4个经典模型中，有一个共同点，即距离中心转轴较远的物体，其动力学方程与核心模型完全相同，即

T+μmg=mlω2

3 应用

【例1】利用图5，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上放着质量均为1 kg的A，B两个物块.B物块用长为0.25 m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连.两个物块和传感器的大小均可不计.细线能承受的最大拉力为8 N. A，B间的动摩擦因数为0.4，B与转盘间的动摩擦因数为0.1，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力.转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零.当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F.试通过计算在图7中作出F-ω2图像. (g取10 m/s2)

图7

解析：在本题中，角速度ω取不同值，对应以下几种模型.

(1)当B与转台将发生相对滑动时其角速度为

故ω∈[0,2]时，绳子拉力为零，对应于基本模型2.

(2)当A物块所受的摩擦力大于最大静摩擦力时，A将要脱离B物块，此时的角速度可由

得到

此时绳子的张力大小等于6 N，而小于绳子所能承受的最大拉力，绳子未断.故ω∈[2,4]时，绳子拉力T与ω2的关系为

T1=2mω2r-μ12mg

对应于核心模型.

(3)当角速度继续增大时，A脱离B物块，只有B物块做匀速圆周运动，仍对应于核心模型.故有

则有

ω3=6 rad/s

T2=mω2r-μ1mg

代入数据，可得F-ω2图像如图8所示.

图8

【例2】在图9的娱乐节目中，人由高处跳到高速转动的水平转台上并双脚触台.设人脚与转台间的动摩擦因数为μ.试把这一实际问题抽象成相应的物理模型，解决以下几个问题.

(1)如果人跳到转台上时，一只脚恰好落到转轴上，且两脚的连线沿半径方向.为使人不被向外甩出，两脚之间的距离l应满足什么条件？

(2)如果人跳到转台上时，两脚分居转轴两侧，且其连线仍沿半径方向.试证明此种方式比(1)中方式更稳定.

(3)如果人由(1)中方式站起来，试说明人缓慢站起与快速站起哪种方式更稳定.

图9

解析：(1)对此情况，可将其抽象成图10所示的物理模型，其中两物体的质量相同，其间用长为l的绳子相连.

要使人不被甩出，两物体与台面间的摩擦力均达到最大静摩擦力fm，则有

T=fm

(1)

fm=μmg

(2)

T+fm=mω2l

(3)

由式(1)～(3)可解得

图10 图11

(2)对此情况，可将其抽象成图11所示的物理模型，其中两物体的质量相同.

设左侧物体离轴心的距离为r1，右侧离轴心的距离为r2，r1

(4)

对于右侧物体有

(5)

fm=μmg

(6)

r2+r1=l

(7)

根据式(4)～(7)可解得

ω1>ω

故以方式(2)跳到转台比方式(1)更为稳定.

(3)人缓慢站起来时FN=mg， 因而fm=μmg.而人快速站起来时，由于人处于先超重状态后失重，在失重状态时，FN