选择典型过程治疗学生的恐簧症

程和界 杨树宏

(湖北省翔宇教育集团监利中学 湖北 荆州 433300)

求解含弹性势能的试题是高考的热点与难点，很多考生患有恐簧症.如何求解含弹性势能的试题，值得研究.选择振子运动的典型过程，是治疗恐簧症的有效方法[1，2].下面举例说明.

1 选择弹力做功为零的过程求解弹性势能的大小可消失

【例1】如图1所示，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连,B静止在水平导轨上,弹簧处在原长状态.另一质量与B相同的滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行.当A滑过距离l1时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A，B紧贴在一起运动，但互不粘连.已知最后A恰好返回到出发点P并停止.滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为l2.求A从P点出发时的初速度v0.

图1

解析：如果选择振子B从Q点经2l2回到Q点的过程求解，由于弹簧的弹力做功为零，弹性势能也为零，则方程中不出现弹性势能这一项，可达到弹性势能的大小消失的目的.再者，如果采用按运动过程的先后列方程，则每列一个方程新增一个未知数，越做越没有信心.如果采用逆向思维列方程(从最后的过程到最初的过程列方程)，每列一个方程就会新增一个已知量，则越做越有信心.

对滑块A从Q点恰好返回到出发点P并停止的过程，设滑块A，B分离时的速度为v3，根据动能定理有

弹簧振子从Q点经2l2又回到Q点，滑块A，B没有分离，速度一直相同.在这一过程中，振子的位移为零，弹性势能也为零.设碰撞时滑块A，B的共同速度为v2，根据动能定理有

由于碰撞时间极短，设碰撞前滑块A的速度为v1，根据动量守恒定律有

mv1=2mv2

滑块A从P到Q，根据动能定理有

得

【例2】一个劲度系数为κ=800 N/m的轻弹簧，两端分别连接着质量均为m=12 kg的物体A和B.将它们竖直静止地放在水平地面上，如图2所示.在物体A上施加一竖直向上的变力F，使物体A从静止开始向上做匀加速运动.当t=0.4 s时,物体B刚离开地面(设整个匀加速过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10 m/s2).求此过程中外力F所做的功.

图2

解析：本题的运动过程是，弹簧在外力F的作用下，由压缩变为伸长，且弹簧振子的压缩量与伸长量相同，弹性势能相同.如果选择弹簧由压缩变为伸长的全过程求解，弹簧的弹力先做正功，后做负功，弹簧的弹力做功为零，方程中可不出现弹性势能这一项，达到弹性势能的大小消失的目的.

设开始时弹簧的压缩量为x1， 对物体A

κx1=mAg

(1)

设物体B刚要离开地面时弹簧的伸长量为x2， 对物体B

κx2=mBg

(2)

因为

mA=mB=m

代入式(1)、(2)得

x1=x2

在整个过程中物体A上升的位移为

代入数据得

s=0.3 m

根据运动学公式

得物体A的加速度

设物体A的末速度为vt，则由

得

设此过程中外力F做功为W，根据动能定理

2 选择弹力做功相等的过程求解弹性势能的增量可替代

【例3】如图3所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连.弹簧的劲度系数为κ.A,B都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放.已知它恰好能使B离开地面但不继续上升.若将C换成另一个质量为(m1+m3)的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g.

图3

解析：本题是前后两个过程;每一次弹簧都由压缩变为伸长，弹力做功相等，弹性势能的变化相同，弹性势能的增量可替代.

开始时，物体A,B静止.设弹簧压缩量为x1，有

κx1=m1g

(1)

挂上C并释放后，C向下运动，物体A向上运动.设物体B刚要离地时弹簧伸长量为x2，则有

κx2=m2g

(2)

物体B不再上升，表示此时物体B，A和C的速度均为零，C已降到最低点.由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为

ΔE=m3g(x1+x2)-m1g(x1+x2)

(3)

物体C换成D后，当物体B刚离地时弹簧弹性势能的增量与前一次相同.由于B的合外力为零，运动状态保持不变，因此vB=0.由能量关系得

(m3+m1)g(x1+x2)-m1g(x1+x2)-ΔE

(4)

由式(3)、(4)得

(5)

由式(1)、(2)、(5)得

【例4】质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接.弹簧下端固定在地上.平衡时，弹簧的压缩量为x0,如图4所示.一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动,但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点.若物块质量为2m,仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O点的距离.

图4

解析：本题是前后两个过程，每一次弹簧都由压缩变为原长，弹力做功相等，弹性势能的变化相同，弹性势能的增量可替代.

设物块与钢板碰撞前速度为v0，由机械能守恒定律

则有

(6)

设物块与钢板碰撞后速度为v1，由动量守恒有

mv0=2mv1

(7)

设刚碰完时弹簧的弹性势能为EP，根据条件，当它们一起回到O点时，弹性势能为零.这时物块与钢板的速度为零.由机械能守恒则有

(8)

设质量为2m的物块与钢板碰撞后速度为v2，则有

2mv0=3mv2

(9)

刚碰完时弹簧的弹性势能为EP′，当它们一起回到O点时，弹簧无形变，弹性势能为零，仍继续向上运动.设此时速度为v，由机械能守恒定律，得

(10)

由于弹簧的压缩量相同， 故有

EP′=EP

(11)

当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力作用，加速度为g.一过O点，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g.由于物块与钢板不粘连，故在O点物块与钢板分离，分离后,物块以速度v竖直上升，则由以上各式解得，物块向上运动所到最高点与O点的距离为

总之，对含有弹性势能的求解问题，只要选择弹簧振子运动的典型过程，弹簧的弹力做功为零,弹力做功相等，让弹性势能为零或者弹性势能等量替代，运用机械能守恒定律、动能定理求解，好像没有弹簧一样，就能达到治疗恐簧症的目的.

参考文献

1 人民教育出版社物理室编著.高级中学物理课本(第二册).北京：人民教育出版社，2003

2 邢新山，丁汝辉，等.十年高考分类解析及命题趋势：物理(第一版).延边：延边大学出版社，2004