物理解题中的极值方法

杨国平

(绍兴市第一中学 浙江 绍兴 312000)

极值问题又叫最值问题，对应于物理变化过程中出现的一种特殊状态(题意中经常会出现“最大”、“最小”、“至少”等字眼).极值类问题常作为竞赛和高考中的难题，为命题者所青睐.就解题的策略而言，通常有数学和物理两种途径.

1 极值问题的数学解法

粗浅地说，解极值问题的过程可分为两步:一是建立模型;二是根据题给条件和相关物理规律，把待求量表述为某种数学形式(如一元二次方程)，然后利用数学手段求解.常涉及到的知识点有以下三个.

1.1 二次函数y = ax2 +bx+c的性质

(1)配方法

a> 0时y有最小值;

a< 0时y有最大值.

【例1】 图1所示为一定质量理想气体的状态变化图，在状态A时的温度为300 K.求气体从状态A沿直线变化到状态B的过程中，能达到的最高温度.

图1

解析:由理想气体状态方程知，气体由状态A变化到待求状态的过程中，有

(1)

又直线AB的数值方程为

p= 4 - 0.5V

(2)

代入得

T= -25V2+200V= -25(V- 4)2+ 400

当V= 4时,Tmax= 400，所以最高温度为400 K .

(2)Δ判别法

要x有解，须有Δ =b2- 4ac≥ 0，从中能得到关于某一物理量的极值.

【例2】 在水平地面上方10 m高处，以20 m/s的初速度沿斜上方抛出一物体.不计空气阻力，g取10 m/s2,求物体的最大射程.

图2

解析:以抛出点为原点，建立直角坐标系xOy，如图2所示.设v0与x轴的夹角为θ，飞行时间为t，有

x=v0cosθ·t

(1)

(2)

联立式(1)、(2)消去参数t，得轨迹方程

代入数据有

要使tanθ有解，据Δ ≥ 0 解得

x2≤2 400 m2

1.2 三角函数的有界性

利用三角函数sinθ,cosθ的有界性(最大值为1)，可求出三角函数的极值以及对应的θ角.通过和差化积、积化和差等手段，最后常常会出现形如

等结果，这样就能确定y的最值.

【例3】 如图3所示，木块和水平地面间的动摩擦因数为μ，力F斜向上拉木块在水平面上匀速前进.求F和水平方向的夹角为多少时最省力.

图3

解析：据图3，有

∑Fx= 0 ∑Fy= 0

则Fcosα-f=0

(1)

f=μN

(2)

N+Fsinα-mg=0

(3)

联立式(1)、(2)、(3)得

因

其中

故当tanα=μ,即α=arctanμ时

1.3 基本不等式的性质

若变量a>0，b>0，c>0，则有

当且仅当a=b(=c)时等号成立.特别值得一提的是，物理极值类问题中经常会出现y=sinθcos2θ的结果.令

因为

即和是定值，则当

y有极大值.

【例4】 电容式电压计是空气平行板电容器.一个极板固定不动，另一个极板可以垂直板面方向平动，如图4所示.极板面积为S.当电压为零时两极板间距为d.劲度系数为κ′的弹簧固定在可动极板上.此仪器可以测量的最大电压是多少？

图4

分析：在两极板加一电压U后，所带电荷量Q=CU.两板因带异种电荷而相互吸引，使得指针右移，同时改变了电容量，吸引力又得微调……因此，解该题先要找到力与极板间距之间的关系.

解析:令电压U=0时，x=0.当电压为U时,极板之间吸引力为F，当极板间距变化Δx后，板间电场能变化为

利用虚功原理

解得

带电后，左板偏离了x，当弹簧弹力与吸引力平衡后，有

则

令

y=x(d-x)2=

2 极值问题的物理解法

利用数学知识求解极值问题，是最常用,也是最自然的方法.但把物理问题过分数学化，有时甚至会变成一长串数学式子而掩盖了问题的物理本质.很多情况下我们可以根据物理概念和规律进行分析，明确题中物理量在什么条件下取极值，或出现极值时有何特征，然后根据这些条件或特征来寻找极值.

2.1 物理量及其变化率

2.2 作为物理知识储备的条件可直接调用

例如，涉及两个物体的追及问题，当速度相等时，两者间距离出现极值(极大或极小);或在完全非弹性碰撞中系统动能损失ΔEk有最大值；在运动学极值问题中，还可借助光学中的费马原理，甚至借用等时弦的结论；在电路中电源输出功率最大的条件是r=R外，引入等效电源模型可使其应用范围大大拓展；在采用力、速度等矢量图解法时，常会出现垂线段最短的情况.试举两例如下.

【例5】小球从离地面高h处以初速度v0与水平方向成θ角斜向上抛出，在空中运动轨迹是一条抛物线.问小球水平最大射程是多少？

解析：斜抛运动也可看成是初速度方向的匀速直线运动和自由落体运动的合成.由此作出速度矢量图，在图5中，由机械能守恒可知

其大小是不变的.注意到水平射程

由图5可知，该矢量三角形的面积为

又可表示为

则水平射程

图5

【例6】在例3中，物体受重力mg，弹力N，摩擦力f和拉力F四个力作用.将f和N合成为一个全反力R，如图6，它与竖直方向的夹角为φ，则

因此这个力的方向是不变的.摩擦角

φ=arctanμ

这样木块就可视为受重力mg，全反力R，拉力F三个力作用.因合力为零，所以mg，F，R组成封闭的矢量三角形，其中mg恒定，R的大小不定，方向定.在力矢量三角形中，当F垂直于R(即F与水平方向的夹角α=φ=arctanμ)时

图6