关于可递代数性质的一点注记

程国正

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

关于可递代数性质的一点注记

程国正

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

证明了一类非完全NP核空间上移位算子Mz具有可递代数性质，这是对已有相关结果的一个重要推广．

可递代数性质；完全NP核；加权Dirichlet空间；移位算子

令H是一个可分的复Hilbert空间，B(H)表示H上的有界线性算子全体．B(H)中一个包含单位的子代数A成为可递的，如果它满足：

1）A关于弱算子拓扑是闭的；

2）Lat(A)={{0}，H}，这里Lat(A)表示A的不变子空间全体．

著名的可递代数问题是：若A是Hilbert空间H上的一个可递代数，则B(H)A= ？

可递代数问题是目前算子理论中的一个重要公开问题，它最早隐含在美国科学院院士Kadison的文章[1]中．1964年，Arveson[2]首次具体地提出这个问题，并得到一个著名的刻画，即Arveson引理．上世纪六七十年代，可递代数问题是算子理论中的一个热点问题，许多学者在Arveson工作的基础上进行了深入研究，取得了丰硕成果，见文献[3]第8章．所取得的结果在形式上比较一致：当一个可递代数A包含某些特殊算子时，

1 可递代数性质

若Ω是复平面C上的一个区域，一个函数成为一个完全NP核，如果满足：

最近，笔者和郭坤宇教授等[6]将函数空间上的可递代数问题约化成图不变子空间的纤维维数计算，并且得到如下结果：具有完全NP核空间上的移位算子Mz具有可递代数性质．这个结果是目前关于函数空间上可递代数问题最完整的结果．

2 主要结果

本节将给出一类非完全NP核空间，但是这类空间上的移位算子Mz依然具有可递代数性质，由此说明文献[1]中的完全NP核不是必要的．

设μ是支集在闭单位圆盘中的有限正Borel测度，由此定义D上的权函数Uμ为：

其中T是单位圆周．然后，加权Dirichlet空间D()μ定义为由D上依下述范数是有限的解析函数组成：

注记1 最初的加权Dirichlet空间D(μ)是Richter[7]引入的．Shimorin[8]证明了加权Dirichlet空间是完全NP核的．

注记2 Shimorin[8]指出：D上的任意正上调和函数均具有上述所定义的加权函数Uμ的形式．特别地，当取时，D(μ)就是Hardy空间；当取时，D(μ)就是经典的Dirichlet空间．

下面将介绍一类由Aleman[9]引入的非完全NP核空间．

空间Hλ具有许多良好的性质，比如：具有再生核，任意一个元素均是两个有界解析函数的商，胞腔不可分的，等等．

接下去我们给出特殊的λ来说明Hλ不是完全NP核空间，首先需要如下引理[10]．

[1] Kadison R. On the orthogonalization of operator representation [J]. Amer J Math, 1955, 77: 600-621.

[2] Arveson W. A density theorem for operator algebras [J]. Duke Math J, 1967, 24: 635-647.

[3] Radjavi H, Rosenthal P. Invariant Subspaces [M]. Berlin: Springer-Verlag, 1973: 138-166.

[4] Radjavi H, Rosenthal P. A sufficient condition that an operator algebra be self-adjoint [J]. Canad J Math, 1971, 23: 588-597.

[5] Richter S. Invariant subspaces of the Dirichlet shift [J]. J Reine Angew Math, 1988, 286: 205-220.

[6] Cheng G Z, Guo K Y, Wang K. Transitive algebras and reductive algebras on reproducing analytic Hilbert spaces [J]. J Funct Anal, 2010, 258: 4229-4250.

[7] Richter S. A representation theorem for cyclic analytic two-isometries [J]. Trans AMS, 1991, 328: 325-349.

[8] Shimorin S. Complete Nevanlinna-Pick property of Dirichlet-type spaces [J]. J Funct Anal, 2002, 191: 276-296.

[9] Aleman A. Hilbert spaces of analytic functions between the Hardy and Dirichlet space [J]. Proc AMS, 1992, 115: 97-104.

[10] Agler J, Carthy J M. PickInter polation and Hilbert Function Spaces [M]. Rhode Island: American Mathematical Society, 2002: 88-89.

Some Remark on Transitive Algebra Property

CHENG Guozheng
(School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

Transitive algebra property could be found in the shift operatorMzon a class of non-complete NP kernel spaces. The achievement is an important extension of related results.

Transitive Algebra Property; Complete NP Kernel; Weighted Dirichlet Space; Shift Operator

(编辑：王一芳)

O177.1

A

1674-3563(2012)04-0016-04

10.3875/j.issn.1674-3563.2012.04.003 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2011-11-14

国家自然科学基金青年项目(11101312)

程国正(1982- )，男，浙江温岭人，讲师，博士，研究方向：泛函分析