对比正态分布与多重分形＊

曾捷斌

（福建省仙游师范学校，福建 仙游 351200）

对比正态分布与多重分形＊

曾捷斌

（福建省仙游师范学校，福建 仙游 351200）

研究对象的标度r与容量值N（r）的双对数关系若包含2个直线段，常被解释为多重分形，但这种特征可以由正态分布的观测值造成.通过实例介绍和分析，认为分形理论并不适用于随机分布的研究对象.

正态分布；多重分形；对比

Mandelbrot（1982）在其不朽的著作《自然分形几何》中引入了分形的概念.分形的基本属性是标度不变性，也称自相似性，即不论测量的单位或观察的尺度如何改变，所观察和研究的对象的性质（如形态、结构、复杂程度和不规则性等）均不发生改变.具有自相似或标度不变性的几何对象，称它们是分形的［1］.分形理论作为非线性科学的重要组成部分，已被广泛应用于科学和工程研究中的各个领域.以往以概率论为基础的统计模型来描述的许多现象（如地球化学勘查资料）的不均匀性，现在也有许多学者尝试用分形理论的方法来进行研究［2］.但分形分布规律是否为一种普遍的规律，或者说分形理论是不是万能的，这仍然是值得探讨的问题.笔者通过对比正态分布与分形特征，发现分形研究中存在谬误，正态分布总体同时具有多重分形的某些特征，但并不能用分形来加以解释.

式中：u是速度，B是磁场，p是压力，n是∂Ω上的单位外法向量，Re表示水动力雷诺数，Rm表示磁雷诺数，Sc表示耦合系数。

1 正态分布与分形的特征简介

1.1 正态分布

正态分布（又称高斯分布）是统计学中最重要的分布规律之一，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布（或者对数正态分布）来描述.正态分布的概率密度函数［3］为

任何一个国家和民族的文化领导权建设都会与该社会的变革和转型相携以进，相伴而行。对于文化领导权概念的核心要素——主流意识形态而言，在新媒体时代下面临着全新的传播语境和全新的认读体系。随着新媒体时代的来临，各民族的文化意识形态在国际间广泛地碰撞、沟通和交流，在一定程度上呈现出整合与分化的趋势。正如美国学者爱德华·S.郝尔曼所言，“全球化也是一种意识形态，它的作用是通过那种看上去非常有益的和不可阻挡的优势来减少这个过程的阻力。” [6] 56今天，在新媒体和文化领导权的内在关系上，还存在着种种认读误区，需要我们进一步解放思想，从思想观念上廓清若干误区。

其中－∞＜μ＜＋∞，σ＞0为实数，前者为服从正态分布的随机变量的均值，后者为此随机变量的方差.

1.2 分形

分形的特征可以用如下关系式来描述：

Mandelbrot（1975）给出分形的第1个定义如下：设集合F⊂Rn的Hausdorff维数是DH.若F的Hausdorff维数DH严格大于它的拓扑维DT，即DH＞DT，则称集合F为分形集，简称分形.该定义的数学表达式可记为F＝｛DH：DH＞DT｝.

并且该控制系统主要目的是通过控制导轨俯仰角α从而控制小球在导轨上的位置x，故可针对系统状态量x和α设置偏差函数：

以湖南省招生考试信息港［4］公布的湖南省2009年高考美术联考成绩分数段统计结果（见表1）为例.公布成绩的考生共34 123名，按照5分的间隔统计.

2 对比试验

在不同的标度下可能会有不同的分维数值，即自相似性具有局域特征.这种特征称为多重分形，多重分形的N（r）与r的关系表现为多条直线段.

表1 湖南省2009年高考美术联考成绩分数段

2.1 统计分析

从高分到低分，各分数段的人数及累积人数与成绩下限值的关系见图1.从分布曲线看来，基本符合正态分布的特征.

其中N（r）为研究对象随标度r变化的某种容量值，D 为分维数，k为常系数.（1）式两边取对数，得到lg N（r）＝－Dlg r.可见，N（r）与r呈线性相关，拟合直线的斜率就是－D.

2.2 分形特征

将分数段下限值（相当于标度r）与累计人数（相当于容量值）取双对数作关系图（图2）.从图2中可见2条直线段，中间以弧线过渡.这种特征常被解释为多重分形.

图1 湖南省2009年高考美术联考成绩统计

图2 分数与累计人数双对数关系

3 结论

实例中考试成绩与人数明显呈正态分布，分布曲线近于对称，均值位于215分左右.从图2可以看出，分数与累计人数双对数关系呈现2个直线段，直线段之间以弧线过度，过渡部位在2.35附近，对应的分数值为220分，与统计均值非常接近.因此，2条直线段反映的是正态分布曲线两翼的特征，而期望值附近表现为弧线.这种特征并不能说明2个不同分维数的分形集，而仅仅是一个简单的正态分布总体.

玉米是我县主要粮食作物之一，充分挖掘玉米生产潜力，确保玉米增产增收具有现实而重要意义。研究玉米提质增效应以解决生产上籽粒含水量高、内在品质差、产量低为目标，配套品种、耕作、施肥和田间管理等技术。

符合正态分布或近似正态分布的研究对象很多，一般都具有一个确定的期望值.如某一批产品中的某项化验指标，通常是围绕在某一特定值附近分布的.普通的地质体的地球化学分析结果也符合这一分布特点，但仅仅是一种随机分布，具有统计意义，并不遵循分形特征.

［1］陈 颙，陈 凌.分形几何学 ［M］.第2版.北京：地震出版社，2005.

［2］李长江，麻土华，朱兴盛，等.矿产勘查中的分形、混沌与ANN［M］.北京：地质出版社，1999.

［3］宋代清.概率论与数理统计 ［M］.成都：西南交通大学出版社，2007.

［4］湖南招生考试信息港.2009年湖南省艺术类统考各专业考生成绩分段表 ［EB／OL］.http：／／www.hneeb.cn／website／newsDoc／zkdt／200912295332.html，2009－02－16.

（责任编辑 向阳洁）

Contrast Between Normal Distribution and Multifractals

ZENG Jie－bin
（Xianyou Normal School of Fujian Province，Xianyou 351200，Fujian China）

Objects investigated are usually interpreted as multifractals with the double logarithmic relationship between scale（r）and capacity value N（r）consisting of two straight segments.But such features can be caused by the observations of normal distribution.Based on case analysis，this paper argues that fractal theory does not apply perfectly to the objects of random distribution.

normal distribution；multifractals；contrast

O211.3

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2012.03.006

1007－2985（2012）03－0020－02

2012－03－02

曾捷斌（1957－），男，福建仙游人，福建省仙游师范学校高级讲师，主要从事概率论与数理统计研究.

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