应用数形结合思想巧解数学题

　　摘 要： 数形结合思想是重要的数学思想方法之一，本文从函数图像和几何图形两个方面，举例说明“以形助数”在解决问题中的一些妙用。
　　关键词： 数形结合思想 函数图像 几何图形 巧解数学题
　　
　　所谓数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，一方面借助数的精确性来阐述形的某些属性，另一方面借助形的直观性来阐述数量之间的关系。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，在解题中运用数形结合，常常可以优化解题思路，简化解题过程。
　　一、利用数形结合思想解决集合的问题。
　　当几个集合的解集是不等式形式，要求它们的交集或并集时，经常借助于数轴，把不等式的解集在数轴表示出来，通过数轴观察它们的交集或并集，这样比较直观，例如：
　　例1：已知集合A={x|-1＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}（a∈R），
　　（1）若A?哿B，求a的范围；（2）若B?哿A，求a的范围。
　　分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使A?哿B，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有a≤-13a≥3，这时a的值不可能存在。（如图1①）
　　要使B?哿A，当a＞0时集合A应该覆盖集合B，应有a≥-13a≤3a＞0成立，0＜a≤1。
　　当a≤0时，B=?覫，显然B?哿A成立。故B?哿A时a的取值范围为：a≤1。（图1②）
　　二、利用数形结合思想解决方程和不等式问题
　　1?郾利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题。
　　利用二次函数f（x）=ax+bx+c（c≠0）的图像与x轴交点的横坐标是方程f（x）=0的实根，根据二次函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）与x轴的交点情况就可以确定方程f（x）=0的实根的情况，即通过f（x）=0?圳y=f（x）的相互转化，利用函数y=f（x）的图像可以直观解决问题。例如：
　　例2：a为何值时，方程2ax+2ax+1-a的两根在（-1，1）之内？
　　分析：显然a≠0，我们可从已知方程联想到相应的二次函数y=2ax+2ax+1-a的草图（图2），从图像上我们可以看出，要使抛物线与x轴的两个交点在（-1，1）之间，必须满足条件：f（-1）＞0f（-）≤0f（1）＞0，即（a-1）＞0-a≤0（a+1