好课来自困

　　当我上了一节节充满创新意味的数学课，比如《规律的规律》《分数的意义》《三角形三边关系》《角的度量》《游戏公平》《圆的认识》《分数的初步认识》《审题》《我会用计算器吗？》《百分数的意义》，同行们十分羡慕和佩服。老子说：“鱼不可脱于渊，国之利器不可以示人。”其实，“课”之利器可以示人，创新好课的方法并不神秘。
　　我的体会是：好课来自困惑，创新缘起问题。只要我们敢于回顾以前的教学场景，自己和同行们以往上过的课，批判地反思不自然、不真实、太零碎、欠科学的教学环节，找出存在的问题，我们就能上好有思想价值的课。
　　一、不自然的
　　以前教学《圆的认识》时，我们常常画地为牢，不敢越雷池一步。新课改给了我们打破传统的勇气。不要讲的，就不讲；不该练的，就不练；不该课上练的，就让学生课后练。学习本不该是重在熟能生巧，更有价值的应该是急中生智。
　　以前我们教学圆的特征，在概括出“半径都相等”和“直径都相等”后，总要追问：“在这里要不要加上一句什么话?”学生不明就里，丈二和尚摸不着头脑。尴尬无奈之下，教师从学生桌上拿出一个学生画的小圆，比着黑板上教师画的大圆，问道：“能说这两个圆的半径都相等吗?”“不能”。“那想想在‘半径都相等’、‘直径都相等’的前面要加一句什么?”“噢，在同一个圆中。”“想想——还有什么可能?对啦，在等圆中。”教师赶紧找个台阶下。
　　为什么要加上前提条件“在同一个圆中或等圆中”?究竟要不要?什么时候、怎样的人，才会看着一个大圆和一个小圆问：“这两个圆的半径都相等吗?”请问：我们说“正常人的两条腿是一样长的”，怎么不加上前提条件“在同一个人身上”?以后再说“正方形的四条边都相等”，还要不要加上“在同一个正方形中”呢?数学上的严谨就是这样的吗?要加上前提条件“在同一个圆中或等圆中”，这是不是教学内容上的形式主义?什么是特征?是否是某一类物体中每一个个体都具备的?既然是每一个个体都具备的，那还要不要加“在同一个圆中”呢?我们为什么要让自己尴尬，把自己套进去呢?
　　我同样地去质疑——半径和直径的概念，是不是应该“浓墨重彩”地去渲染?“圆”的概念都没有给出，是否需要咬文嚼字地概括出“半径”和“直径”的概念?揭示两者概念后，让学生从一个圆内各个不同的线段中挑出“半径”和“直径”，有没有哪位老师见过学生有错?学生都不会有错的活动，要不要组织?
　　因此，我不再组织咬文嚼字的教学活动，而是让学生在我当堂画在黑板的圆上标出半径和直径。
　　师：谁能在这个圆上标出一条半径?
　　生(争先恐后地)：我!我!
　　师(指名一位学生板画后，老师和同学一起边看边问)：我们看他是怎样画的?他在找什么?
　　生(齐)：圆心。(学生画出了半径后，大家不约而同地为他准确的画法鼓起掌来。)
　　师：他画得多认真呀!谁再来画一条直径呢?
　　当我在另外一个班教学时，一位女生画直径时，把三角尺死死地压在圆心上。她可能没有用粉笔画线的经验，她画的直径将不经过圆心。我正高兴，终于可以有“融错”环节了。哪知道她移开三角尺，发现了这条“直径”没有通过圆心，就用粉笔一圈一圈地把圆心圈大，使“直径”通过了圆心。全场哄堂大笑。
　　“真没有”时，就别强求。
　　我想：在半径、直径的概念上，还需要我们强调什么呢?现在我再讲《圆的认识》，画半径和直径的环节也去掉了。
　　因此，现在我讲《圆的认识》，就创设了小明参加头脑奥林匹克的寻宝活动情境：小明得到这样一张纸条——“宝物距离你左脚3米。”想一想，宝物可能在哪呢?(稍顿)你手头的白纸上有一个红点，这个红点就代表小明的左脚，用1厘米表示1米，请在纸上表示出你的想法……
　　用“是什么?”“为什么?”“怎么做?”“为何这样做?”等四个问题做成的金钥匙，带领学生经历从现象到本质的探究过程，促使学生养成研究问题的良好意识。
　　最后再加上第五把金钥匙“一定这样吗”，组织学生回头追问：“宝物一定是在以小明左脚为圆心，半径3米的圆上吗?”让学生自己由圆突破到球，认识到圆和球的相同与不同。
　　自然的才是真的，才是最美的。
　　二、不真实的
　　以往有的教学常常教在不需要教的地方，需要教的地方反而没有教，就像爱因斯坦说的那样：“取一块木板在上面寻找最薄弱的部位，在那些容易打孔的地方钻开无数个孔。”什么是不需要教的地方?学生已经会了，不再出错的地方。哪里是需要教的地方?学生出错的地方就是我们老师需要教的地方，是展示教师价值的地方，是促进学生发展的地方。为什么需要教的地方而我们老师没有教呢?并不是我们教师主观上的不作为，而是传统的教学习惯使然。传统的课堂里，教师往往满足于学生的一路凯歌，陶醉于学生的一无错处，而视学生的差错为洪水猛兽、魔鬼毒蛇，避之犹恐不及。如果我们把学生的差错看成难得的资源，并且成功地加以运用，那么我们的课堂就因“融错”而有意义、有生命力!
　　关于四年级的“计算器”，以往我们会自以为是地教给学生怎样开机、关机，认识数字键、运算符号键、显示屏，会板书按键的程序框图。其实，这些都不需要教。我在北京做过调查，95％的三年级小学生都会使用计算器。但是学生很会“配合”，开始装作不会，听老师讲授。其实，师生双方都心知肚明，讲的没味，听的没劲，但都在“尽职”。是回避，还是引导?几经思考，我确定了“计算器”的教学目标：让学生体会到什么时候该用计算器什么时候不该用，知道怎么看待计算器显示的结果，纠正学生对计算器的错误认识，介绍给学生两个非常有用但还不知道用的功能键，享受借助计算器而超越计算器的快慰。老师的价值体现在学生使用计算器过程中出现问题的指导上。
　　课始——
　　师：(在黑板上贴出一张计算器图片)认识这个吗?
　　生：(齐)认识!计算器。
　　师：是啊，地球人都知道。那你在哪些地方看到过呢?
　　师：(抬腕)我这个手表上也有。能说得尽吗?
　　生：说不尽。
　　师：在我们的身边，计算器是无处不在的。那么……(老师的话语停住了，开始板书，和黑板上的图片组成一句话：“我会用计算器吗?”在老师板书的时候，每一个学生都随着每一笔板书猜测老师要写的字。)
　　师： 问问自己。
　　生：(齐)我会用计算器吗？
　　师：会吗?
　　生：(胸有成竹，异口同声地)会！
　　师：真的会吗?
　　生：真的会!
　　师：(风趣地)那我要下岗了，这堂课不用上了。都会啊?那行，就考考你自己吧。这里有三道题——
　　①57734+7698=②56÷7=③2345-39×21=
　　师：看看你自己是不是真的会用计算器，看谁算得又准又快，开始。
　　(学生开始用计算器计算。)
　　师：第一道题等于多少?
　　生：65432。
　　师：第二道题不用说了是吧。第二道题有用计算器的吗?(有用了的，有没用的，都有。)
　　师：第三道题呢?
　　生1：1526。
　　生2：48426。
　　师：究竟哪个答案对呢?
　　生：我们的答案是1526。
　　师：大家都认为1526是对的，其实也就是这种做法。(课件出示：③2345-39×21=2345-819=1526)
　　生1：其实48426也是对的。不过，可能她的计算器是算术型的，不知道先乘除后加减。
　　师：是谁不知道先乘除后加减?
　　(众生看着报出“48426”的同学，语气中有些谅解：“是她。”也有个别同学说：“是计算器。”)
　　生2：因为如果是科学型计算器的话，应该知道先算39×21；要是普通型的话，按顺序输入就会先计算2345-39的得数然后再乘31，所以得数是48426。
　　
　　师：(恍然大悟状)噢，真佩服!大家的计算器可能大多数不是科学型的，不是聪明型的，而是傻瓜型的，就像傻瓜照相机一样。傻瓜型的计算器就会按输入顺序计算，算出来的结果就是48426。我很赞同刚才这个同学的分析。其实开始出现这个结果的时候，我们还可以用估算来分析一下，是不是?谁来说说怎样用估算来判断?
　　生1：先把2345约等于2300，然后把39约等于40，2l约等于20，20乘40等于800，2300-800=1500。
　　生2：还可以更简单地估算。2345减去一个数不可能大于2345。
　　(报出“48426”的同学羞愧地点点头。)
　　师：看来估算挺有用的，关键是我们要养成用计算器计算之前或之后估一估的习惯。那么这几道题做完以后，你有什么想法?有没有学到些什么……
　　师：好了，现在会用计算器了吗?
　　生：会了。
　　数学教学是基于学生的。课始呈现的三道题，蕴涵着多重的价值：第一，鼓励学生自己尝试使用计算器，暴露学生的认知起点。第二，使学生产生学习新的操作的愿望，教师在需要教的时候提供“强有力”的帮助。第三，将计算器与估算、心算等相结合：简单的计算不必使用计算器，估算能够帮助我们发现计算器使用中的错误。人们在生活中是十分相信计算器的，甚至是“迷信”，但计算器算出来的结果一定对吗?
　　在全班同学都胸有成竹地认为“我会用计算器”的情况下，却有不少同学出错了。这时的差错是提醒，学生们立刻来了兴致。
　　不知道什么时候该用计算器，不该用时都用了，能算会吗?不知道计算器还有聪明型与傻瓜型之分，能算会吗?孔子说：“工欲善其事，必先利其器。”遇上混合运算，只会一步一步地把计算器算出的得数记下，面对计算器上的M+、MR键却视而不见，能算会吗?考虑到可能有学生用“倒减”的方法来解决记忆中间数的问题，我预设了一道练习题“20655÷(27×45)= ”，对全班同学是巩固，对提出“倒减”的同学还是醒悟：“凡事都是有利有弊的”……“我唯一知道的便是我的无知”，课堂上的学生，对手中的计算器怀有了更多的好奇和探究的冲动。而这种“无知之知”，却不是由教师明白无误地告知，而是在教师巧妙的设计和不露痕迹的引导中学生体会到的，因而这种“无知之知”不会让学生产生焦虑或羞愧，而是引发学生“爱智慧”。
　　课尾——
　　师：我们来挑战一下自己，好不好?(板书：22222222×55555555=)
　　生：(埋头苦算中……有的在抱怨说计算器容不下，有的很快算出了结果。)
　　师：谁来说说结果?
　　生1：1．234567877E15
　　生2：1．234568E15
　　生3：1．23456787715
　　师：谁还有其他的结果?
　　生4：1.234567877×1015
　　师：用普通计算器的有没有结果?
　　生5：E12345678
　　生6：E1234567876
　　生7：1．234567815
　　生8：12345678E
　　师：还有结果?不用再报结果了。你有什么疑问吗?
　　生1：怎么会有这么多不同的结果?
　　生2：大家用的计算器不一样，结果也就不一样。
　　生1：难道这么多结果都是对的吗?
　　师：是啊，说了这么多结果，哪个才是对的呢?
　　生：(迷茫地)不知道啊。
　　生：都不对，二五一十，末位应该是0。(同学们纷纷点头赞同，还有同学补充“这两个数乘起来也不会是1点几啊”。)
　　师：那正确的结果究竟是多少呢?现在我们能不能把正确结果找出来呢?前后四个同学组成一小组想想办法吧。(学生小组讨论了两分钟。)
　　师：商量了，现在找到办法了吗?
　　生：(垂头丧气地)没有。
　　生1：我觉得用2×8的结果乘以5×8的结果。
　　(同学们先是愣住了，接着少数学生笑了。)
　　师：好，大胆的想法!那现在大家一起算一下。
　　生(齐)：640。(笑的人更多了，声音更响了。)
　　生1：我错了。
　　师：哦，他自己就发现错了。不过，我很佩服这位同学，在计算器没法算的情况下，他想到动脑子了!(老师带头鼓掌，学生们也鼓起掌来。)
　　生：(急切地、兴奋地)可以口算，二五一十，二五一十，8个二五一十，所以得数是111111110。(老师冲她点头，少数同学为她鼓掌。)
　　生1：不对，8个2乘8个5的得数应该是15位或者16位数。(老师向他竖起大拇指，示意同学们继续思考。又等了十几秒钟，学生似乎仍然摸不着头脑。)
　　师：看来我们是山穷水尽，找不到路了，是吧?
　　生(齐)：嗯!
　　师：(神秘地)我有祖传秘方。
　　……
　　师：算完以后，你现在有什么想法?
　　生：我觉得看起来这个数字很庞大，用计算器算不太可能，但是掌握了这里面的技巧，这么大的数用脑子就可以算出来，说明计算器不是万能的。
　　生：这么大的数据在计算器上却是不正确的，然而用人的智慧却可以算出准确的答案，可以说人比计算器更聪明。
　　师：说得好不好?
　　生：好!(鼓掌)
　　师：刚才有个同学问得特别好，他想：为什么是这样的一个规律啊?来，一起把这个结果说出来。
　　生(齐)：1234567876543210。
　　师：其实这个窍门是我们的祖先老子告诉我的。(课件出示：天下难事，必作于易，天下大事，必作于细。——老子)
　　生：(齐读。)
　　师：(板书：天下难事，必作于易)由容易的入手，我们先借助计算器发现规律，再用规律去解决用计算器不能直接解决的问题。借助计算器而超越计算器，我觉得是使用计算器的很高境界。行了，孩子们，再问问自己。(手指课题)
　　生：(自豪而有意味地齐声问道)我会用计算器吗?
　　师：这节课，我们一遍一遍地问自己，“我会用计算器吗?”同学们的回答总是“会”，从后往前看，其实都不能算完全的“会”，但从前往后看，确实都是“会了”，不过“会”的水平是越来越高了，真是应了那四个字——(板书：学无止境)。下课。
　　根据大家熟知的“对称的数学金字塔”：
　　1×1 =1
　　11×11 =121
　　111×111 =12321
　　1111×1111 =123432l
　　……
　　我加工成了“22222222×55555555=？”，可以说是苦心孤诣。这样的题更富有挑战性，恰到好处地渗透了“化难为易，化繁为简”的转化思想，让学生领略数学美妙的同时为学生的曲径通幽预埋了伏笔。
　　计算器显示出的错误答案，就像一块此路不通的“路标”，指引学生另辟新道；同学“640”的错误答案，是一种启发，启发同学们去探寻数与数之间的关系；“11111110”可以说就是一种进步，是老师预设的，但可以说是前一个差错撞击出的；出乎意料的竖式，又可以说是受“111111110”的提示。
　　另外，我还设计了一道“试一试：999999999×999999999
　　=?”，以巩固“化难为易，化繁为简”的转化方法。
　　三、太零碎的
　　教学《角的度量》时，我们总是先带着学生认识量角器：中心点，零度刻度线，内圈度数，外圈度数。不同版本的教材上都是先量角后画角。
　　这节课到底要认识量角器的什么?我回忆起学生拿着量角器手足无措的样子，往往是用量角器的直边和圆弧夹的角比在要量的角上。原来学生找不到量角器上的角!因此，我让学生讨论这是不是角，能在量角器上找到角吗？我大胆地想：能让学生先在量角器上画角然后再量角吗?进而，我再追问：“量角的本质是什么?”“重合。”如果学生在量角器上清晰地找到角了，量角的问题就能迎刃而解。因此，我决定让学生在量角器上画角，再交流有没有不同的角，这样顺势就可以介绍“中心点”、“0度刻度线”、“内外圈刻度”、1度的角、度数的写法等。
　　我根据学生简单地用量角器的尖角比着要量的角，顺势组织学生讨论那个尖角是不是角，然后创造性地让学生在量角之前，先在纸质量角器上画角，学生明白了量角器上有若干个大小不同的角，“抓大放小”地认识了量角器之后，顺其自然地揭示量角的本质，从而让学习像呼吸一样自然。
　　在复印机上排好四个量角器，一摁键出来了纸质量角器。纸质量角器这一素材的产生，就是顺应了学生认识量角器的规律，揭示了认识量角器的根本。
　　四、欠科学的
　　教学《游戏公平》，教材上是通过抛硬币的实验让学生认识可能性。可是这样的实验不用做，做了往往不可收拾。让学生抛10次硬币，有的8次正面，2次反面；有的9次反面，1次正面……大组合计之后，正反两面的次数仍然存在较大差距。张老师课堂上是这样，王老师课堂也是如此。小概率事件为什么成为大概率事件?
　　原来，我们只规定了学生抛的次数，没有规定抛的高度、角度、力度。学生高高地抛出第一次后，满地找硬币，以后他就接受教训，低低地抛了。而把硬币抛l米高和抛l厘米高，结果当然不可同日而语。
　　找到问题之后，没有能找到解决问题的办法，我请教了北师大吕建生博士，他说可以把硬币装在矿泉水瓶里摇。后来，我再尝试用营养快线饮料瓶、小酒杯、水杯等，最后选用了学生小手可以抓得住的小水杯。
　　“反者道之动，弱者道之用。天下万物生于有，有生于无。”(老子语)经过思考、寻找，我结合北京奥运会素材，创设了抛啤酒瓶盖的实验，让学生喜欢上“数据”，赢得了大家的赞许。华东师大张奠宙教授说：“听完华应龙老师的课，很为他的创新精神所折服。”
　　“人法地，地法天，天法道，道法自然。”(老子语)创新，当回顾以往的教学，找到存在的问题。不自然、不顺畅、不舒服的地方就是应当改进的。
　　课堂上的种种创造，让我体悟到：创造是对前人的扬弃，更是对自己的超越，对自己的成全。课堂是学生的，就应该从学生的实际需要出发。我们真要扮演学生成长中的“重要角色”，就要不断丰厚自己，力求达到在学生眼中“我就是数学”。