高斯整数环的素元形成与商环性质

2011-12-28 06:47戴洋
淮南师范学院学报 2011年5期
关键词:素数整数高斯

戴洋

(山东大学 数学学院,山东 济南 250100)

高斯整数环的素元形成与商环性质

戴洋

(山东大学 数学学院,山东 济南 250100)

高斯整数环是一种构造特殊且具有一定代表性的环,在代数环论中占有重要的地位。既融入了环论的思想,同时亦包含有数论的思想,对于高斯整数环的研究一直是国内外学者的重要课题之一,数学家们通过多年的研究,得出了许多重要且富有意义的结论。在前人研究成果的基础上,针对高斯整数环中素元的形成和不同主理想下商环的个数,作了进一步的探索:

1、分析证明了高斯整数环的基本性质,论证了高斯整数环是欧几里德整环,高斯整数环是主理想整环,高斯整数环是唯一因式分解整环。

2、论述了高斯整数环素元的形成,分别给出了整数素元和部分非整数素元的形式。

3、论述了高斯整数环在不同主理想下其商环的个数。对于高斯整数环的主理想,分别给出了当(为自然数),(为自然数),(为任意整数)时,其商环的个数及其证明。

高斯整数环;素元;商环

1 高斯整数环的基本性质

1.1 高斯整数环是欧几里德整环

定理1.1.1高斯整数环是欧几里德整环。

证明:高斯整数环 Z[i],设 α∈Z[i],有

1.2 高斯整数环是主理想整环

定理1.2.1欧几里德整环是主理想整环。

证明:设R是欧几里德整环。任取R的一个理想I且设I≠0。取I的一个非零元b,使得

显然(b)⊆I。 反之,设 a∈I,由于 R 是欧几里德整环,因此存在 h,r∈R,使得

当r≠0时,则r=a-hb∈I,这与b的取法矛盾。因此 r=0,从而 a=hb∈(b)。 因此 I=(b)。 证毕。

定理1.2.2高斯整数环是主理想整环。

证明:由定理1.1.1和定理1.2.1可知,高斯整数环是主理想整环。证毕。

1.3 高斯整数环是唯一因式分解整环

定理1.3.1整环R如果满足下列两个条件:

(i)因子链条件成立,即如果序列 a1,a2,a3,…中,每一个ai是ai-1的真因子,则这个序列是有限序列;

(ii)每一个不可约元都是素元,则R是唯一因式分解整环。

证明:设a是R中非零且非单位的一个元素。如果a不可约,则a=a。下面设a可约,则a有真因子。先证a有一个真因子是不可约的。设a1是a的一个真因子。若a1不可约,则a1就是所要找的。若a1可约,则a1有真因子a2。若a2不可约,则a2有真因子a3。如此下去,得到序列

其中每个元素是前面一个的真因子。由于R满足因子链条件,因此(1)是有限序列。设它的最后一项为an。则an是不可约的。易看出an是a的真因子,把 an记作p1,于是a=p1c1。 从而 c1是 a的真因子。若c1不可约,则a分解成了两个不可约元p和c1的乘积。若c1可约,显然c1非零且非单位,由前面的讨论知道,c1有真因子p2不可约,于是c1=p2c2,从而c2是c1的真因子。如此下去,得到序列

其中每一个元素是前面一个得真因子,由因子链条件,序列(2)有限。 设序列(2)终止于 cs-1。 于是cs-1为ps,则

再证唯一性,设a有两种这样的分解:对第一种分解式中的不可约元的个数s作数学归纳法。

s=1 时,a=p1=q1q2…qt。 假如 t>1,则

因为p1不可约,所以q1是p1的平凡因子,由于q1不是单位,因此q1~p1。于是q1=p1u,其中u为单位。从而

由此推出,1=u (q2…qt)。 从而 q2是单位 i,矛盾。因此t=1。于是p1=q1。

假设分解式中不可约元的个数为s-1时唯一性成立,讨论不可约元的个数为s的情形。

由于 p1不可约,根据已知条件(ii)得,p1为素元。于是从p1|q1q2…qt可推出p1整除某个qi。通过改写的qi下标可设p1|q1。由于q1不可约,因此p1~q1。于是p1=q1v,其中v是单位。从而

两边消去 q1,得(vp2)……ps=q1q2……qt。 由归纳假设得,s-1=t-1,即s=t;并且适当改写qj的下标可以使 vp2~q2,p3~q3,…,ps~qs,从而有

根据数学归纳法原理,唯一性得证。

综上所述,R为唯一因式分解整环。证毕。

定理1.3.2主理想整环是唯一因式分解整环。

证明:设R为主理想整环,设p为R的一个不可约元,则p≠0且p非单位,(p)是p生成的理想。于是(p)≠0 且(p)≠R。设 R 的理想 I⊇(p),因为 R 是主理想整环,所以 I=(a)。 从(a)⊇(p)得出a|p。由于p只是平凡的因子,因此a~p或a是单位。如果 a~p,则(a)=(p)。如果 a 是单位,则(a)=R。因此(p)是R的极大理想。

因为(p)是非零极大理想,从而(p)是非零素理想,因此p是素元。

R 中任取一个序列 a1,a2,a3,…,其中每个 ai是ai-1的真因子。 于是(ai)■(ai-1)。 从而

综上所述,R是唯一因式分解整环。证毕。

2 高斯整数环中素元的形成

2.1 Z[i]中的单位

定理2.1.1 Z[i]中的单位只有±1,±i四个元素。

证明:设 α,β∈Z[i]其中 α=a+bi,由题意知αβ=1,有 φ(αβ)=φ(α)φ(β)=1。 由于 φ(α)、φ(β)是非负整数,因此只有 φ(α)=φ(β)=1,即有 φ(α)=a2+b2=1。 由上式得 a=0,b=±1,α=±i或 a=±1,b=0,α=±1,即Z[i]中的单位只有±1和±i四个元素。证毕。

2.2 Z[i]中的素元当且仅当是不可约元

定理2.2.1 Z[i]中的素元当且仅当是不可约元。

证明:充分性:设α为Z[i]中的不可约元,并有 α|βγ(β,γ∈Z[i]),由定理 1.1.1 和定理 1.2.2 可知:

令 α=ε1δ,β=ε2δ,ε1ε2∈Z[i]。 因为 α 是 Z[i]的不可约元,故ε1、δ中必有一个是单位。若ε1是单位,则 δ=ε1-1α,β=(ε2ε1-1)α 即 α|β;若 δ 是单位,由(δ)=(α,β),故可设δ=ε3α+ε4β,ε3,ε4∈Z[i]。于是 1=δ-1ε2α+δ-1ε4β,则 γ=δ-1ε2αγ+δ-1ε4βγ,由于 α|βγ 及 α|αγ 故α|γ,因此α为Z[i]中的素元。充分性得证。

必要性:设 α是 Z[i]中的素元,若 α=βγ,则有α|β 或 α|γ,不妨设 α|β,可设 β=εα ε∈Z[i],故 α=βγ=(εγ)α,由于 Z[i]是无零因子环,所以有 εγ=1,即得γ是单位,故α是不可约元。必要性得证。

2.3 Z[i]中的整数素元

对于环Z[i],它的元素可分为两部分,一部分是整数,另一部分是形如 a+bi(b≠0)的元素。首先讨论整数集Z中的素元。Z中的非素数肯定不是Z[i]中的素元,因为Z[i]中的素元要求除本身及单位外无其他因子,故只有素数才可能是Z[i]中的素元。但并非Z中的一切素数都是Z[i]中的素元,例如素数 2 在 Z[i]中可分解为 2=(1+i)(1-i),1±i都不是2的相伴元,显然它不是Z[i]中的素元。一般的,除2外,其他素数都可以写成4n+1与4n+3的形式,有如下定理:

定理2.3.1有理素数p为Z[i]中素元的充分必要条件是方程x2+y2=p没有整数解。

证明:必要性:设p为素元,假设x2+y2=p有整数解(x0,y0),则有 p=(x0+y0i)(x0-y0i),且 x0,y0≠0,即p有真因子x0±y0i,与p为素元矛盾,故假设错误,即 p 为素元,x2+y2=p 没有整数解(x0,y0)。 必要性得证。

充分性:设 x2+y2=p 没有整数解(x0,y0),假设 p不是素元,即 p 可分解。 设 p=(a+bi)(c+di),且 φ(a+bi)≠1,φ(c+di)≠1,则

从而a2+b2|p2或c2+d2|p2, 即p2+b2=p2或c2+d2=p2。 由 c2+d2≠1 知,a2+b2=p。 又由 a,b∈Z 知,x2+y2=p有整数解(a,b),与假设矛盾。故假设错误,即p为Z[i]中的素元。充分性得证。

定理2.3.2若素数p可写成4n+3的形式,则p为Z[i]的素元。

证明:由定理2.3.1,只需证4n+3=x2+y2无整数解即可。

由于k12+k22只能为 0、1和2,而不可能为 3,故上式不可能成立。即p=4n+3类的素数为Z[i]的素元。证毕。

定理2.3.3形为4n+1类的素数为Z[i]的非素元。

证明:由数论知,若p=4n+1为素数,则-1为p的平方剩余,即 x2≡-1(modp)有解,所以存在 a∈Z,使得 p|a2+1。

若 p 为素元,由 p|a2+1=(a+i)(a-i),则有 p|(a+i)或 p|(a-i)。 不妨设 p|(a+i),即(a+i)=p(c+di),这里c,d∈Z,所以1=pd,而这与p=4n+1为素数矛盾。故p为Z[i]的非素元。证毕。

2.4 Z[i]中的非整数素元

定理 2.4.1 设 α∈Z[i],若 φ(α)为素数,则 α 为Z[i]中的素元。

证明:设 p 为素数,φ(α)=p,x为 α 的任意因子,设 α=xy,则有 φ(α)=p=φ(x)φ(y),因此 φ(x)=1或 φ(x)=p。

(1)若 φ(x)=1,则 x为一单位,故 x为 α 的平凡因子;

(2)若 φ(x)=p,则 x为 α 相伴元,故 x为 α 的平凡因子;

因此,α的任意因子必为α的平凡因子,故α为Z[i]中的素元。证毕。

定理 2.4.2 若 α∈Z[i],α∉Z,φ(α)=p1p2…pn,pi为素数,则

(1)若 n=1,则 α 为 Z[i]中的素元;

(2)若 n>1,则 α 为 Z[i]中的非素元。

证明:(1)由定理 2.4.1所证。

(2)设 α=a+bi,a,b∈Z,b≠0,则 φ(α)=(a+bi)(a-bi)=p1p2…pn。 若 pi(i=1,2,…n)中存在 2 或 4n+1类的素数,不妨设p2即是,则

由定理1.3.1知Z[i]是唯一因式分解整环,故a+bi要么为x0+y0i,要么还可继续分解。而由p1为素数可知a+bi不可能为x0+y0i,故此时α为Z[i]的非素元。若p1p2…pn全为4n+3形式的素数,那么p1p2…pn即为φ(α)的一个分解。由唯一分解性,a+bi仍可继续分解,显然其不是素元。证毕。

3 高斯整数环的商环的性质

由文[3]的讨论,我们只需考虑mn≠0的情形,

[1]丘维生.抽象代数基础[M].北京:高等教育出版社,2003

[2]石生明.近世代数初步[M].北京:高等教育出版社,2002

[3]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003

[4]王海坤.Gauss整数环的诸类问题探[J].工科数学,1999,(15):3

[5]方辉.高斯整数环及其商环的若干性质[J].安徽教育学院学报,2002,(20):6

[6]齐丽丽.Gauss整数环及其商环的几个性质[J].贵州大学学报(自然科学版),2008,(30):1

O153.3

A

1009-9530(2011)05-0017-04

2011-07-12

戴洋(1989-),男,安徽合肥人,山东大学数学学院数学与应用数学专业学生。

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