GRIN（Gradient Index）介质中的Maxwell方程组与光线光学

郭守月，袁兴红，穆姝慧，周 倩，冯克成

（1.安徽农业大学理学院，安徽合肥 230036；2.长春理工大学理学院，吉林长春 130022）

GRIN（Gradient Index）介质中的Maxwell方程组与光线光学

郭守月1，袁兴红1，穆姝慧1，周 倩1，冯克成2

（1.安徽农业大学理学院，安徽合肥 230036；2.长春理工大学理学院，吉林长春 130022）

利用坡印廷矢量（Poynting vector）的方向就是光线轨迹曲线的切线方向，推出程函方程（Eikonal equation）的矢量式.经分析发现此式包含了光的粒子性与光的波动性因素，光线的传播规律还受介质折射率函数的制约.再由程函方程进一步推得光线方程，并给出了应用实例.

光线光学；光线方程；坡印廷矢量；变折射率介质；程函方程

光具有波粒二相性就意味着研究光的传播特性，既可从光的粒子性着手也可以从光的波动性开始.光的波粒二相性应从不同角度（或侧面）考察同一个对象得出的结论，其表象是对立的，但实质应是统一的，统一于光的电磁本质.因此研究光的传播行为也可以从麦克斯韦电磁波理论中的麦克斯韦方程组开始［1－2］.

光在各向同性的均匀介质（介质的电容率和磁导率均为常数，也就是介质的折射率是常量）中传播时，常见典型的波阵面（也称为等相位面）是平面、球面或柱面等曲面，其形状是不随位置变化的，与波阵面垂直的波射线是直线.当光在折射率随位置（r）变化的非均匀介质（电容率ε＝ε0εr（r）和磁导率μ＝μ0μr（r）均为空间位置的函数）中传播时，虽等相位面（形状）是随位置变化的曲面，但波射线或者称光线（下文用光线）总是与其经过的每一点处的波阵面相垂直，此时的光线也不再是直线.比如海市蜃楼现象，太阳落到地平线以下时，我们仍然能看到太阳等自然现象以及光在变折射率光学器件中沿弯曲路径传播等人为现象，都是光非直线传播的例子.本文从麦克斯韦（方程组）电磁理论开始，推导程函方程及变折射率介质中的光线方程的矢量形式，并对其进行深入的分析和讨论.

1 程函方程

当光在非均匀介质中传播时，电场强度E（r）与磁场强度H（r）满足麦克斯韦方程组：

2 光线方程的矢量式

3 结果与讨论

光线光学或称几何光学是波动光学（波长趋于零时）的极限.波动光学是直接根据麦克斯韦方程组（或波动方程）求解光的传播问题.随着光波长的减小，光在均匀介质传播的直进性和粒子性愈明显.而光线光学就是利用光波长趋于零的条件来简化研究光的传播问题.即不考虑光的矢量性质（用光子术语就是忽略了光子的自旋特性），而将其按一个标量过程来对待.

仔细分析程函方程（15）式的各量可见：L（x，y，z）表示波阵面函数，它是光的波动性的体现；e t和▽L都是沿光线轨迹方程的切线方向，它体现了光粒子运动规律；n体现了介质的光学性质，对光粒子的运动起制约作用.

（18）式在已知介质折射率函数的条件下，一般不易求解光线轨迹方程，往往将其化为二维的标量形式后求解［4－8］.例如：

（1）当介质的折射率n为常数时，由（18）式知，e t是常矢量，光线沿直线传播；

（2）受夏日阳光炽晒的沙漠地区或公路，接近地表的空气密度随高度（y）的增加而缓慢增加，导致折射率随高度的增加而缓慢地线性变大［9］，可表示为

在二维直角坐标系中，设光线轨迹方程为y＝y（x），由（18）式推得光线方程的标量形式为［10］

当α很小且光线沿地表传播时，y′2＋1≈1，由（19）式和（20）式可得

由（21）式且利用初始条件（见图1）：x＝x0＝0，y＝y0，θ＝θ0得到与文献［9］一致的光线轨迹方程为

图1 光线在GRIN介质中传播轨迹

以上讨论可见，在GRIN介质中以麦克斯韦方程组作为光线光学的起点推出的结论，如（15）式，体现了光的波动性与微粒性的统一，同时光粒子的运动因受GRIN介质折射率的制约［4－5，10］，其运动的轨迹一般不再是（均匀介质中的）直线.

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The Maxwell's equations and ray optics in gradient index media

GUO Shou－yue1，YUAN Xing－hong1，MU Shu－hui1，ZHOU Qian1，FENG Ke－cheng2

（1.School of Sciences，Anhui Agricultural University，Hefei 230036，China；2.School of Sciences，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022，China）

The vector expression of Eikonal equation is deduced by using the direction of Poynting vector is tangent direction of ray track.The expression contains both wave nature of light and corpuscular nature of light.At the same time，it can obtain the conclusion that ray track is restricted by the function of dielectricle refractive index.Finally，the Eikonal equation is transformed into ray equation，and application examples are given.

ray optics；equation of light ray；Poynting vector；gradient index material；Eikonal equation

O 435

140·10

A

1000－1832（2011）04－0072－04

2011－05－25

安徽省自然科学研究重点项目（KJ2011Z118）.

郭守月（1955—），男，副教授，主要从事梯度折射率光学研究.

石绍庆）