复随机变量的条件独立性与条件回归独立性

杨金英

（呼伦贝尔学院数学科学学院，内蒙古海拉尔 021008）

复随机变量的条件独立性与条件回归独立性

杨金英

（呼伦贝尔学院数学科学学院，内蒙古海拉尔 021008）

将实随机变量的条件独立性与条件回归独立性的研究推广到复随机变量，讨论了复随机变量的条件独立性、条件回归独立性及强条件独立的关系，得到了三者等价的几个充分必要条件.

复随机变量；条件独立；条件回归独立；多维随机变量

条件独立性与条件回归独立性是现代概率论与数理统计中最重要的概念与工具之一，在概率空间上σ－域的独立性与条件独立性的概念为现代概率论的一些分支，如鞅、Markov过程及平稳过程的发展奠定了理论基础［1］.也在图模型理论、因果分析和贝叶斯网络等现代统计方法中得到广泛的应用.［2－6］

文献［7］对实随机变量条件独立的三种形式及其关系进行了研究，文献［8］对实离散型随机变量的条件独立与条件回归独立进行了研究.本文将对复随机变量的条件独立性、条件回归独立性及强条件独立的关系进行研究.由于复随机变量的独立性问题与实多维随机变量的独立性有关，因此，本文将先讨论多维随机变量的条件独立性、条件回归独立性及强条件独立的等价关系，之后再讨论复随机变量的相关问题.

1 多维随机变量的条件独立与条件回归独立

1.1 基本概念

设X＝（X1，…，Xm），Y＝（Y1，…，Y n），Z＝（Z1，…，Zk）为m，n，k维随机变量，m≥1，n≥1，k≥1，且X，Y，Z均为连续型（或均为离散型）随机变量，其联合分布密度（联合分布列）为

Z为非退化随机变量.

定义1设概率空间（Ω，F，P）上的随机向量（X，Y，Z）有联合密度函数（联合分布列），若对任意的

1.2 主要定理与证明

2 复随机变量的条件独立与条件回归独立

设X＝X1＋iX2，Y＝Y1＋iY2，Z＝Z1＋iZ2分别是m，n，k维复随机变量，因为一个n维复Borel域和一个2n维的实Borel域是同构的，因此对复随机变量的条件独立性、条件回归独立性与多维随机变量（X1，X2），（Y1，Y2），（Z1，Z2）的条件独立性、回归独立性是等价的，于是有如下的结论：

［1］严士健，王隽骧，刘秀芳.概率论基础［M］.北京：科学出版社，1988：255－294.

［2］VELLAISAMY P，VIJAY V.Collapsibility of regression coefficients and its extensions［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，2008，138：982－994.

［3］耿直，何洋波，王学丽.因果链上因果效应的关系及推断［J］.中国科学：A辑数学，2004，34（2）：227－236.

［4］XIANCHAO XIE，ZONGMING MA，ZHI GENG.Some association measures and their collapsibility［J］.Statistica Sinica，2008，18：1165－1183.

［5］JIANHUA GUO，ZHI GENG.Collapsibility of Logistic Regression Coefficients［J］.J R Statist Soc B，1995，57：263－267.

［6］孙铁利，赵隽，杨风芹，等.一种基于相对特征的文本分类算法［J］.东北师大学报：自然科学版，2010，42（1）：68－71.

［7］李开灿，耿直.条件独立性的三种形式及其相互关系［J］.北京大学学报：自然科学版，2002，38（5）：629－634.

［8］郭建华，马文卿.随机独立与回归独立［J］.北京大学学报：自然科学版，2000，36（1）：39－43.

Conditional independence of complex random variables and conditional regressive independence

YANG Jin－ying

（School of Mathematics Sciences，College of Hulunbeier，Hailaer 021008，China）

This will be implemented conditional independence of random variables and conditions regressive independence extended to complex random variables，conditional independence of complex random variables，conditional regressive independence between strong conditional independence of relations is discussed，and several necessary and sufficient conditions are presented.

complex random variables；conditional independence；conditions regressive independence；multidimensional random variable

O 212

110·67

A

1000－1832（2011）04－0025－04

2010－06－10

内蒙古自治区自然科学基金资助项目（2009MS0106）.

杨金英（1965—），女，副教授，主要从事数理统计研究.

陶 理）