关于代数整数与代数数的一个注记

徐丽媛，陈良云

（1.白城师范学院数学系，吉林 白城，137000；

2.东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024）

·研究简报·

关于代数整数与代数数的一个注记

徐丽媛1，陈良云2

（1.白城师范学院数学系，吉林 白城，137000；

2.东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024）

证明了代数数是有理数系数方阵的特征值，代数整数是整数系数方阵的特征值.由此出发，完全用线性代数与矩阵计算的方法简洁地证明了代数整数对加减法和乘法封闭，从而构成一个环（代数整数环）；所有代数数对加减乘除封闭，从而构成一个域（代数数域）.

代数数；代数整数；特征值

代数整数对加减法和乘法封闭，从而构成一个环，这是代数史上一个重要的结论，它的证明要用到模的理论［1－4］.而本文完全用高等代数的方法，更直观明了地证明了这一结论.

在本文中，约定以下符号：

C表示复数域，C［x］表示以复数为系数的x的多项式的集合；

R表示实数域，R［x］表示以实数为系数的x的多项式的集合；

Z表示整数环，Z［x］表示以整数为系数的x的多项式的集合；

Q表示有理数域，Q［x］表示以有理数为系数的x的多项式的集合；

Zm×n表示元素在Z中的m行，n列的矩阵的集合；

In表示n阶单位矩阵.

设α是一个复数，如果α是一个有理系数的多项式ɡ（x）的零点，即ɡ（α）＝0.那么以α为零点的次数最低的首项系数为1的有理系数多项式f（x）是Q上的不可约多项式，而且f（x）｜ɡ（x）.

由h（x）是首一多项式，故F（x）与－F（x）也有一个是首一多项式，故f（x）＝±F（x）∈Z［x］.即α是代数整数.

例2 任何单位根均为代数整数.

这是因为n次单位根ξ是首一多项式xn－1的零点.

定理2α是代数数当且仅当α是Q上某个方阵A的特征值.α是代数整数当且仅当α是Z上某个方阵A的特征值.

证明 由于A的特征多项式f（λ）＝det（λIn－A）是首一多项式.

当A∈Qn×n时，f（λ）∈Q［λ］.于是A的特征值是代数数.

当A∈Zn×n时，f（λ）∈Z［λ］.于是A的特征值是代数整数.

反之，设

故α是A的特征值.因此定理2成立.

定理3C中代数整数构成的集合对加法、减法与乘法封闭（即构成环）；所有的代数数构成一个域，任何代数数是代数整数的商.

证明代数数的集合，代数整数的集合都是非空的，下面证明对加法与乘法封闭.

设α，β是两个代数数（代数整数）.由定理2，可假定它们分别为Q（Z）上方阵

注上面定理也可叙述为：所有代数数构成一个域，称为代数数域；所有代数整数构成一个环，称为代数整数环.

［1］ 冯克勤.代数数论入门［M］.上海：上海科学技术出版社，1988：18.

［2］ 宋天光.交换代数导引［M］.合肥：中国科学技术出版社，2002：127.

［3］ 孟道骥.高等代数与解析几何［M］.第2版.北京：科学出版社，2004：116-120，237-244.

［4］ 吴显峰，陈良云.Engel定理及其应用［J］.东北师大学报：自然科学版，2009，32（4）：5-8.

A note about algebric integer and algebra number

XU Li-yuang1，CHENG Liang－yun2

（1.School of Mathematics，Baicheng Normal College，Baicheng 137000，China；
2.School of Mathematics and Staistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，Chian）

In this paper，it is proved that an algebraic number can be seen as an eigenvalue of a matrix over rational field，and an algebraic integer can be seen as an eigenvalue of a matrix over integral ring.Then the important conclusion in mathematics that all algebraic integers form a ring and the field of its fractions is an algebraic number field is directly and clearly proved，in history the prove of this conclusion is much difficult for people to understand.

algebraic number；algebraic integer；eigenvalu

O 110·21

110.21

A

1000-1832（2011）03-0151-03

2010-01-10

吉林省自然科学基金资助项目（20101564）；吉林省教育厅科研项目（吉教合字2010第128号）.

徐丽媛（1978—），女，硕士，讲师，主要从事李代数、李超代数研究；陈良云（1974—），男，博士，副教授，博士研究生导师，主要从事模李超代数理论与应用研究.

陶 理）