数学教学中问题串的设计与运用

赵绪昌

【内容摘要】问题是数学的心脏，问题中承载并蕴含了丰富的数学信息。构建、运用适当的问题串是有效教学的基本线索，“用问题引导学习”应当成为教学的一条基本准则。在教学中，针对具体的教学内容和学生知识、能力的实际，设计并合理运用问题串，不仅可以激发学生的求知欲望，搭起学生学习的“脚手架”，帮助学生寻找解决问题的途径，引导学生自主探究问题，突破教学的重点、难点，培养学生的思维能力，而且能够优化课堂教学结构，提高课堂教学效益。

【关键词】数学教学问题串有效运用思维能力教学效益

问题是数学的心脏，数学的真正组成部分是问题和解。波普尔指出：“知识的增长永远始于问题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发大量新问题的问题。”在数学教学中，从课堂提问到新概念的形成与确立，新知识的巩固与应用，学生思维方法的训练与提高，以及实际应用能力和创新能力的增强，无不从“问题”开始。可是在实际教学中，我们会经常发现问题并不是那么好提，太难，学生“蒙”，并且会让许多学生产生畏难情绪；太简单，又成无效问题，浪费宝贵的教学时间。

问题串指在一定的学习范围或主题内，围绕一定目标或某一中心问题，按照一定逻辑结构精心设计的一组（一般在3个以上）问题。构建适当的问题串是有效教学的基本线索，“用问题引导学习”应当成为教学的一条基本准则。在教学中，针对具体的教学内容和学生知识、能力的实际，设计并合理运用问题串，是支持教师教授过程和学生学习过程的一个重要工具，有利于将知识点由简单引向复杂，将学生的错误回答或理解引向正确，将学生的思维由识记、理解、应用等较低层次引向分析、综合、评价等较高层次。有效的问题串能激发学生积极思维，培养思维能力，优化课堂教学结构，提高课堂教学效益。

一、用问题串，学习概念

实际教学过程中，有些难点知识比较抽象，学生的知识准备少，迁移能力欠缺，没有感性认识，教师直白地讲解，学生不容易参与到学习活动中来，很难达到应有的教学效果。但是如果给出相应的问题情境，提供相应的直观载体，再创设与之相应的问题串，将难点知识分解为许多小问题，引导学生从情境信息出发层层深入，步步逼近，则会另有一番课堂景象。

【案例1】“数轴”的教学

“数轴”是一个很抽象的概念，为了使学生加深理解，教师预先布置学生回家观察温度计，并用卫生筷制作一支仿真的温度计。然后在上新课时教师准备一些实验室里的温度计发给学生，让他们仔细对照检查是否有做得不完善或不正确的地方，尽可能让学生先说。接下去教师提出：

问题1：温度计是否有刻度（包括零刻度线）？

问题2：刻度是否均匀？

问题3：刻度标法顺序是怎样的？

问题4：在相邻的两条刻度线之间能否再刻上更小的刻度线？

问题5：温度计上的刻度排列是否有方向性？

问题6：这个温度计能否做得很长很长，刻度标得更多些？

【评析】学生根据自己的制作和观察一般能回答上来，然后我们把这支温度计抽象成一条向两方无限伸展的数轴，引出课题。这样的导入，不光是让学生从实例中体会到了数轴的形象，而且感受了创造数学的过程。对于教学目标来讲，数轴的三要素尽显其中，渗透了数形结合的思想，为接下去画数轴，在数轴上找表示有理数的点和说出数轴上的点所表示的有理数，以及下一节数轴上有理数大小的比较，扫清了理解上的障碍。

【案例2】“对顶角”的教学

问题1：把两根小木条中间钉在一起，使它们形成4个角，这4个角的大小能自由改变吗？在制作过程中你有什么感想？

问题2：在相交的道路、剪刀、铁栏栅门等实际问题中（教师通过多媒体课件呈现图片），你能发现哪些几何形象？试作出它的平面图形。

问题3：如果将剪刀用图形简单地加以表示（如图1），那么∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？能试着说明你的理由吗？

问题4：找一找生活中对顶角的例子。

【评析】问题1是一个与学生的生活紧密联系的数学实验，直观的动态模型能够使学生初步形成对学习对顶角概念的形象雏形理解，从而让学生经历知识的发生过程，能够给学生提供充分的实践与想象的空间。问题2配合问题1对几何形象进一步去观察、操作、猜想，使学生的发现与归纳在更高的思维层次上展开，从而克服了直接给出“两线四角”引入对顶角概念的单一教学模式，促使学生进行探究式的主动学习。问题3为学生提供了极好的探究“对顶角相等”这一性质的现实模型，让学生亲身体验了对顶角性质的归纳，使之自然稳固地内化到认知结构中。问题4让学生回到现实中，应用对顶角的概念去寻找生活中对顶角的例子，既能使学生体验到数学的应用价值，又能加深学生对知识的理解，真正实现知识的自主建构。因此，此问题串预设了丰富的具有现实背景的问题，关注了学生的生活经验，让学生动手“做”数学，开拓了学生的思维空间，提高了学生的自主探索能力。

二、用问题串，探究规律

问题串的设计要根据教学目标、重点、难点，把教学内容编织成一组组、一个个彼此关联的问题，使前一个问题作为后一个问题的前提，后一个问题是前一个问题的继续或结论，这样每一个问题都成为学生思维的阶梯，许多问题形成一个具有一定梯度和逻辑结构的问题链，使学生在明确知识内在联系的基础上获得知识、提高思维能力。

【案例3】“一元二次方程的根与系数的关系”的教学

问题1：分别求出方程x2＋3x＋2=0，x2+8x－9=0的两个根与两根之和、两根之积；观察方程的根与系数有什么关系？

问题2：分别求出方程2x2－5x－3=0，3x2＋20x－7=0的两个根与两根之和、两根之积，观察方程的根与系数有什么关系？

问题3：你能猜想出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根之和与两根之积是多少吗？观察方程的根与系数有什么关系？

问题4：这个规律对于任意的一元二次方程都成立吗？如方程x2+x+1﹦0，它的根也符合这个规律吗？

问题5：请你用数学语言表达上述规律。

【评析】在解答这些问题的过程中，通过问与问之间的层层推进，引导学生按照一定的逻辑顺序层层深入，由易而难，由外而内，由现象到本质，由特殊到一般，学生在解决这些问题的过程中，对一元二次方程的根与系数的关系的掌握也基本系统化了。

【案例4】“平行四边形的判别”的教学

问题l：你能在平面内用两对长度分别相等的小木棒首尾顺次相接组成一个平行四边形吗？说说你是怎么操作的，画出图形并说明理由。

问题2：你能将两根长度相等的小木棒放置在有横条格的练习本的纸上，使得两根小木棒的端点所代表的四个点能在纸上画出一个平行四边形吗？说说你是怎么操作的，画出图形并说明理由。

问题3：你能用这两根长度不等的绳子放在有横条格的练习本的纸上，使得两根绳子的端点所代表的四个点能在纸上画出一个平行四边形吗？说说你是怎么操作的，画出图形并说明理由。

问题4：通过以上三个问题，你能得出哪些结论？

【评析】这个例子中，问题l、问题2、问题3这三个问题中，每个问题都要求学生经历操作实验、数学验证、概括总结三个阶段，因此，每个问题都包含一组有序的问题串，而问题l、问题2、问题3这三个问题实际上也组成了一组更大的有序的问题串，学生通过对三个问题的操作、实验、猜想和探索研究等活动，自主获得了平行四边形的三个主要的判别方法，也使学生真正参与到教学活动中去。这样充分体现了问题的层次感，也更适合学生探究。

三、用问题串，解决问题

运用问题串进行教学，实质上是引导学生带着问题（任务）进行积极地自主学习，由表及里，由浅入深地自我建构知识的过程。因此，问题串的设计应体现递度性和过度性，备课时要在精细化上下功夫，要根据教学目标，把教学内容编设成一组组、一个个彼此关联的问题，使学生在问题串的引导下，通过自身积极主动的探索，实现了由未知向已知的转变。

【案例5】“抛物线与三角形的面积”的复习教学

已知：如图2，抛物线y＝x2－2x－4与直线y＝x交于A、B两点，M是抛物线上一个动点，且在直线AB的下方，连接OM。

问题1：当M为抛物线的顶点时，求△OMB的面积；

问题2：（根据2005年湖北省武汉市中考卷第40（2）题改编）当点M在抛物线对称轴的右侧，且△OMB的面 积为10时，求点M的坐标。

问题3：（根据2008年广东省深圳市中考卷第22（4）题改编）当点M在抛物线对称轴的右侧，点M运动到何处时，△OMB的面积最大？

问题4：（根据2008年安徽省芜湖市中考卷第24（3）题改编）若以点M为圆心， 为半径作⊙M，当⊙M与直线AB相切时，求点M的坐标。

【评析】这是1道基础题和3道中考改编题的整合。其中问题1（已知三角形的3个顶点坐标，求它的面积）是一道常规问题，学生比较熟悉，入手相对容易，同时也为后面问题的探索做好铺垫，起到“脚手架”的作用；问题2是问题1的逆问题，让学生在抛物线上找满足条件的点M；问题3是在动态过程中求三角形面积的最值，同前2个问题相比，对学生的思维有着更高的要求；问题4是问题2的变式，它改变了问题的呈现方式，突出了对学生进行问题本质的训练，要求学生具有较高的模式识别能力。这4个问题有着很强的整体性，不但突出了问题的层次性，一步一个台阶，逐步深入递进，而且体现了方法的迁移性，并始终强调三角形面积的求法。同时，问题的层次性也满足了不同层次学生的需求，让不同的学生都能从中感受到成功。因此，在编制问题串时，要坚持从特殊到一般，从静态到动态进行设计，在变式中追求问题的新颖性。

【案例6】已知在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。

对于这个问题，学生不难证明，但教学不能到此为止，可以引导学生进行多方面的探索。

问题1：本例除了教材的证明方法之外，你还能想出其他证明方法吗？

问题2：分别顺次连结以下四边形的四边的中点，所得到的是什么四边形？从中你能发现什么规律？

（1）平行四边形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）梯形；（6）直角梯形；（7）等腰梯形。

问题3：顺次连结n（n≥3）边形的各边中点得到怎样的n边形呢？顺次连结正多边形的（各边相等，各角也相等的多边形）各边的中点，得到的是什么多边形？是正多边形吗？

问题4：分析例题添加辅助线的方法，从中你受到了什么启发？能否得出在已知中点条件下添加辅助线的一些规律？

【评析】在课堂教学中教师要善于把教材中既定的数学知识转化为问题，以展现知识的发生发展过程，借助具有内在逻辑联系的问题设计，促使学生思考，逐步培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力，使学生真正成为知识的主动建构者。

四、用问题串，反思总结

由于数学思维就是解决数学问题的心智活动，思维过程总是表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，因此数学问题是数学思维目的性的体现，也是数学思维活动的核心动力。如果问题串的设计能从学生知识可接受性的实际出发，确定合理的难度和适当的思维强度，就能有效促进学生求异思维和发散思维的发展，引导学生自己进行思考、比较、思辨。如果再从数学方法论的角度，加入一些元认知的提示语，如：你认为该问题可能涉及哪些知识？解决该问题需要什么条件？我们还疏漏了什么没有？该问题的解决方法有推广价值吗？可推广到哪些方面？还可以促进学生自己发现问题、提出问题，对数学有所感悟，实现学生思维深度参与的自动发生机制。

【案例7】探索三角形相似的条件（第1课时）

为使学生对本课时内容有一个完整而深刻的认识，教师在本节课结束时提出：

问题1：本节课在知识方面你有哪些收获？

问题2：这节课你积累了哪些数学活动经验？

问题3：在说理过程中，应注意什么？

对于问题1，学生说出“两角对应相等的两个三角形相似”的判定条件，以及这一结论是通过实验的方法得到的。

对于问题2，学生可以反思类比猜想或操作验证中的活动经验。

对前者，课上类比三角形全等的判定，对判断三角形相似的条件提出种种猜想，然后将猜想归纳整理为三类，即只与角有关的猜想，只与边有关的猜想，与边和角有关的猜想。这种类比猜想的方法在数学学习中也是经常使用的。

对后者，因为本课时只研究第一类猜想，而其又可细分为三个猜想。

猜想1：一个角对应相等的两个三角形相似；

猜想2：两个角对应相等的两个三角形相似；

猜想3：三个角对应相等的两个三角形相似。

对于猜想1，举出反例就可说明不成立。

对于猜想2，设计验证方案并进行验证。

对于猜想3，根据三角形内角和，可将猜想3与猜想2化归为同一个猜想。

其中涉及化归的思想方法、操作实验的研究方法。

对于问题3，利用“两角对应相等的两个三角形相似”解决问题时，学生要说出找到对应相等的两对角，注意书写的规范。

【评析】三个问题，给学生提出了明确的反思任务，包括数学知识方面、数学活动经验和数学思想方法方面。在教学中如果经常设置这样的教学环节，长此以往，学生将逐渐意识到反思的必要性。在课堂教学中，我们不能仅仅把学生置于“问题”之中，还要置于“反思他们的活动”之中，唯有反思，才能促进理解，从而更好地进行建构活动，实现良好的循环。

以上，谈了在课堂教学中设计并运用有效“问题串”，实际上，课堂教学的每一个环节都涉及到“问题串”的设计与运用，只要我们加强研究，以“问题串”来梳理教学的脉络，在这个平台上，就一定会拓展教师和学生发展的空间，使我们的课堂永远充满活力。

【参考文献】

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[3] 朱建明. 对新课程教学中设置探究活动的思考[J]. 中学数学教学参考（初中版），2007（5）：1-2和12.

[4] 顾继玲. 关注过程的数学教学[J]. 课程·教材·教法，2010（1）：70-74.

（作者单位：四川省宣汉县中小学教学研究室）