Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程族及其广义双 Hamiltonian结构

杨本朝，耿献国

(1.信息工程大学 信息工程学院 河南 郑州 450002； 2.郑州大学 数学系 河南 郑州 450001)

Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程族及其广义双Hamiltonian结构

杨本朝1，耿献国2

(1.信息工程大学 信息工程学院 河南 郑州 450002； 2.郑州大学 数学系 河南 郑州 450001)

基于带有两个位势的4×4矩阵谱问题，导出一族非线性演化方程，其中一个典型成员是Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程.进而证明了这族方程具有广义双Hamiltonian结构并且在Liuovlle意义下是完全可积的.

Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程族； 广义双Hamiltonian结构； 可积性

0 引言

文献[1-2]独立地引入非线性演化方程

(1)

找到了这个方程的一个Lax对和一孤子解并发现它可作为KP族的四约化的特殊情况.文[3]应用Weiss方法给出这个方程的Backlund变换及其特解.文[4]借助 Cole-Hopf变换和显函数的展开法研究了这个方程，并获得孤子解、多孤子解和周期解等[5-6].

本文首先从带有两个位势的4×4的矩阵谱问题出发,

(2)

其中u,v是两个位势，λ是常值谱参数，利用Lenard递推关系及零曲率方程导出一族非线性演化方程，其中一个是Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程(1)，另一个是五阶非线性演化方程

(3)

当v=0时，方程(3)约化为五阶KdV方程，进而证明了这族方程在Lax意义下是完全可积的.利用迹恒等式[7]获得它们的双Hamiltonian结构.

1 非线性演化方程族

为了得到与谱问题(2)相关的非线性演化方程族，我们求解定态的零曲率方程

Vx=[U,V],V=(Vij)4×4,

(4)

其中Vij=Vij(a,b)是关于λ的Laurent展开，即

(5)

把(5)代入(4)得

KG=λJG,G=(a,b)T,

(6)

其中K和J是两个斜对称算子，

将(5)的后两式代人(6)并比较λ相同幂的系数得:

KGj=JGj+1,JG0=0,

(7)

(8)

为了得到(7)式的一般解，引进两组Lenard递推方程：

(9)

假定y满足谱问题(2)和相应的时间发展式:

yt=V(m)y,V(m)=(λmV)+,m≥0,

(10)

其中+表示λ的非负次幂项，由(1)和(10)的相容性条件得到零曲率方程Utm-Vx(m)+[U,V(m)]=0，此即是非线性演化方程族

(11)

(12)

(13)

当t1=t时, (13)即为方程(3).

2 广义双Hamiltonian结构和可积性

为了得到非线性演化方程族(11)的Hamilton结构，首先计算式子：

由迹恒等式[7]，可得：

其中ε1，ε2是待定常数.通过比较λ-j-1两边的系数得:

为了得到ε1，ε2的值，在式子中固定j=0，得到ε1=-3/4，ε2=-1/4.由此推出

则方程族(11)可写为广义双Hamiltonian形式

(14)

易证明K,J都是辛算子，满足K=JL,JL=L*J.由此得Possion括号定义为

{f,g}=(δf/(δu),J(δg)/(δu)).

(15)

由(14)式得

因此{Hn}是方程族ut=JLnf(s)的一列守恒密度，且满足对合条件{Hn,Hm}=0，其中Possion括号由(15)式定义，所以方程族(11)是在Liouville意义下可积的.

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[2] Satsuma J, Hirota R.A coupled KdV equation is one of the four-reduction of the KP hierarchy [J].J Phys Soc Japan, 1982, 51 (10):3390-3397.

[4] Wazwaz A M.The Cole-Hopf transformation and multiple soliton solutions for the integrable sixth-order Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota equation[J].Appl Math Comput, 2009,207(1):248-255.

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Drinfeld-Sokolov-Satsuma-HirotaEquationsandGeneralizedBi-HamiltonianStructures

YANG Ben-chao1，GENG Xian-guo2

(1.InformationEngineeringUniversityofthePeoplesLiberationArmy,Zhengzhou450002，China; 2.DepartmentofMathematics,ZhengzhouUniversity,Zhengzhou450001,China)

A hierarchy of nonlinear evolution equations was derived from a matrix spectral problem with two potentials,in which a typical member was the Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota equation .It was shown that the hierarchy of nonlinear evolution equations possessed the generalized bi-Hamiltonian structures and was completely integrable in the Liuovlle sense.

Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota equations； generalized bi-Hamiltonian structures； integrability

O 175

A

1671-6841(2011)03-0031-03

2010-03-25

杨本朝(1981-)，男，助教，硕士，主要从事孤立子与可积系统研究，E-mail: yang_benchao@yahoo.com.cn .