一个三角形面积关系式的再探究

●(常德市第六中学 湖南常德 415003)

一个三角形面积关系式的再探究

●彭世金(常德市第六中学 湖南常德 415003)

文献[1]研究了有心圆锥曲线涉及三角形面积的一个关系式,得到如下命题:

受其启发,笔者想到:如果线段AB是曲线Γ过中心的弦(不在轴上),那么上述结论是否还成立?通过探究,得到一个肯定的结果.

图1

证明如图1，连结OP，OQ，设M(x0,y0),A(m,n),B(-m,-n),则PQ,AP,BQ的方程分别为

(1)

(2)

(3)

式(1)-式(3),得OP的方程为

b2(x0-m)x+a2(y0-n)y=0,

因此

式(1)-式(2),得OQ的方程为

b2(x0+m)x+a2(y0+n)y=0,

因此

于是

因为点M(x0,y0),A(m,n)在椭圆上,所以

2式相减得

从而

令y0-n=-tb2(x0+m),x0-m=ta2(y0+n),则点M到AP的距离

点M到BQ的距离

从而

于是

得

图2

性质2类似于性质1可证,此处从略.

[1] 梁鲁湘,姜坤崇.有心圆锥曲线涉及三角形面积的一个关系式[J].上海中学数学,2010(12)：39.