由Mircea Lasscu不等式引发的探究

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(杭州学军中学 浙江杭州 310012)

由MirceaLasscu不等式引发的探究

●张玮

(杭州学军中学 浙江杭州 310012)

文献[1]中给出了Mircea Lasscu不等式n元推广的简单证明，笔者经过仔细观察，发现一个有趣的事实.先看n元情形的Mircea Lasscu不等式：

对不等式(1)左边变形可得

由此，笔者联想到均值不等式串

并证明了如下结果也成立.如不加说明，默认k,n∈N*.

定理1若a,b>0，则

当且仅当a=b或k=1时,等号成立.

证明由均值不等式可知

由文献[2]中不等式可得

故

原命题得证.

上述证明方法也可以用来证明不等式(1).与此同时，用类似的方法，笔者还推广了定理1得到定理2，并且还证明了其他的几个结果：

定理2设xi>0(i=1,2,…,n)，则

当且仅当xi=xj(i≠j)或k=1时,等号成立.

证明由均值不等式可知

其二是心血管方面的症状：人会觉得心慌、胸闷、头晕眼花，这是因为屋里暖气过热，水液蒸发过快，血液变得黏稠，供氧不足导致的。如果不能及时改善，很可能是心脑血管病的诱因，如果原本就有肺心病、心功能不全等问题，除了寒冷，过热过干也同样危险。

由文献[2]中不等式可得

故

原命题得证.

定理3设xi>0(i=1,2,…,n),则

当且仅当xi=xj(i≠j)或k=1时,等号成立.

与定理2证明类似，此处略去.

当且仅当xi=xj(i≠j)或k=1时，等号成立.

证明由均值不等式可知

由文献[2]中不等式可得

故

原命题得证.

定理5设xi>0(i=1,2,…,n),则

当且仅当xi=xj(i≠j)或k=1时,等号成立.

与定理4证明类似，此处略去.

定理6设xi>0(i=1,2,…,n),则

当且仅当xi=xj(i≠j)或k=1时，等号成立.

与定理4证明类似，此处略去.当k=n时，即为不等式(1).

定理7若a,b>0，则

当且仅当a=b或k=1时，取到等号.

即只需证明

(a2k+b2k)(a2+2ab+b2)≥(a2+b2)(a2k+2akbk+b2k),

只需证明

a2k+1b+ab2k+1≥a2+kbk+akb2+k，

即

a2k+b2k≥a1+kbk-1+ak-1b1+k.

因为a2k+b2k-a1+kbk-1-ak-1b1+k=(ak-1-bk-1)(a1+k-b1+k)≥0，所以原命题得证.

猜想设xi>0(i=1,2,…,n)，则

当且仅当xi=xj(i≠j)或k=1时，等号成立.

笔者能力有限，上述猜想无法给出证明.通过观察几何画板演示，笔者猜想上述不等式成立，且不等式左边的式子有上界，上界小于2.75，但是能否给出一个精确的值，经过探究，无果.

[1] 安振平，马俊青.Mircea Lasscu不等式推广的简单证法[J].中学教研(数学)，2011(4)：10.

[2] 张玮.一个不等式的简证和推广[J].福建中学数学，2011(4)：35-36.