一类脉冲周期边值问题多个正解的存在性

王 莉

(株洲职业技术学院基础课部，中国 株洲 412000)

近年来，对于非线性微分方程边值问题多个正解的存在性研究引起众多学者的关注，见文献[1～9].但脉冲微分方程边值问题多个正解的存在性结果还不多见.本文的主要目的是研究下列脉冲周期边值问题多个正解的存性

(1)

(H1)f∈C([0,∞),[0,∞)),Ik∈C([0,∞),[0,∞));

(H2)h∈C([0,1],[0,∞))并存在x0∈(0,1)使得h(x0)>0.

1 预备工作

引理1问题(1)等价于下列积分方程

(2)

其中

证1)假设u(t)是(1)的解，其中t≠tk.

则

令t=1,由u(0)=u(1),得

因此

这就说明了(1)的解就是(2)的解.

2)假设u(t)是(2)的解，则

注易见，对于t,s∈[0,1],g(t,s)≥δg(s,s)，其中δ=e-λ.

2 主要结果

设E是一个Banach空间，P是其中一个锥，泛函β:P→[0,+∞)，若β连续，且对所有的x,y∈P，t∈[0,1]，有β(tx+(1-t)y)≥tβ(x)+(1-t)β(y),则称β是P上的一个非负连续凹泛函.

设a,b满足0

Pa={x∈P:‖x‖

(i) 当x∈P(β,a,b)，有{x∈P(β,a,b):β(x)>a}≠∅且β(Tx)>a;

(ii)当‖x‖≤d，有‖Tx‖

(iii)当x∈P(β,a,c)且‖Tx‖>b,有β(Tx)>a；

现在，建立边值问题(1)存在3个正解的充分条件.

定理1假设(Η1)～(Η2)成立且存在常数a和d，0

(3)

和

(4)

并假设下列条件之一成立：

那么边值问题(1) 至少有3个正解.

证设E=(PC[0,1],‖·‖),P={u∈PC[0,1],u(t)≥0，t∈[0,1]}.定义算子T：PC[0,1]→PC[0,1]为

即

‖Tu‖

(5)

(6)

因此，由(4)得到

(7)

另一方面

(8)

参考文献：

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[2] SUN J P,LI W T,CHENG S S.Three positive solution for second order Neumann boudary value problems[J].Appl Math Lett,2004,17(9):1079-1084.

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