关于nZ的理想及商环

张隆辉, 石化国, 赵凤鸣

(四川职业技术学院数学系,四川遂宁 629000)

关于nZ的理想及商环

张隆辉, 石化国, 赵凤鸣

(四川职业技术学院数学系,四川遂宁 629000)

给出了nZ的全部理想、极大理想和素理想,并研究了nZ的商环的构造以及为域的条件,解决了Zn的子域的存在和个数问题.

理想;极大理想;素理想;商环;域;子域;单素因子

若环R关于其加法作成的加群(R,+)是一个循环群,则称R是一个循环环.若a是循环环R的加群的一个生成元,则也称a是循环环R的一个生成元,并记R=〈a〉.循环环R=〈a〉的元素个数叫做R的阶,记为|R|,也就是生成元a关于R的加法的阶(简称a的加法阶).

整数环Z是无限循环环且是欧氏环,对它的研究在代数学中具有十分重要的意义.循环环的子加群、子环、理想三者是一致的.Z的子环即由整数n生成的主理想,记为nZ或〈n〉.Z关于模n的剩余类环即Z的商环,记为Zn或Z/nZ.文[1]给出了Z/nZ的全部理想、极大理想和素理想及其具体求法,文[2]研究了Zn的子环.本文研究nZ的理想、商环以及Zn的子域的存在和个数问题.

1 nZ的理想

引理1[1]设Z是整数环,m Z是Z的理想,则Z中理想nZ⊇m Z⇔n|m.

定理1 nZ的全部理想为mnZ,其中m≥0.

证由引理1,mnZ是nZ的理想.设H是nZ的任一理想.由于nZ=〈n〉是以n为生成元的循环环,故H也为循环环.设其生成元为mn(m≥0),则H=〈mn〉=mnZ.

定理2 nZ的全部极大理想为np Z,其中p为素数.

证(i)设p为素数,则np Z◁nZ.若np ZHnZ,则H=nkZ(k≥0)⇒nk|np⇒k|p.而p是素数⇒k=1或k=p⇒H=nZ或H=np Z⇒np Z为nZ的极大理想.

(ii)设N是nZ的一个极大理想,则N=np Z(p≥0).显然p≠0且p≠1,故p＞1.如果p为合数: p=p1p2,1＜pi＜p(i=1,2)⇒np=(np1)p2,npnp1,np1n⇒np Z◁np1Z◁nZ,矛盾.故p为素数.

显然nZ总有两个素理想{0}和nZ,这两个素理想称为nZ的平凡素理想.

定理3 nZ的全部素理想为np Z,其中p=0或p=1或p为素数且pn.

证(i)当p=0或p=1时,np Z是nZ的平凡素理想.当p为素数且pn时,∀a,b∈nZ,且ab∈np Z,令a=ns,b=nt,则ab=npq=nsnt⇒nst=pq.又由p为素数且pn⇒p|s或p|t⇒np|a或np|b⇒a∈np Z或b∈np Z⇒np Z为nZ的素理想.

(ii)设H是nZ的任一素理想,则H=np Z,p≥0.若H={0},则p=0.若H=nZ,则p=1.若H≠{0}且H≠nZ,则p＞1.

①如p为合数:p=p1p2,1＜pi＜p(i=1,2),则取a=np1,b=np2,有a,b∈nZ.但a,b∉np Z,ab =np1np2=n(np)∈np Z,所以np Z不是nZ的素理想,矛盾.所以p必为素数.

②如p为素数但p|n.取a=b=n(p+1)∈nZ,令n=pk,则

但a=b∉np Z(否则np|n(p+1)⇒p|p+1,矛盾.),所以np Z也不是nZ的素理想,矛盾.所以p为素数且pn.

作为定理2,3的特例得熟知的结果:在Z中,除平凡理想外,素理想和极大理想是一致的.定理2、3还表明,在nZ(n＞1)中,非平凡素理想是极大理想,极大理想未必是素理想,故可以在nZ(n＞1)中找到是极大理想而不是素理想的例子.

2 nZ的商环

定理4给出了nZ的商环的构造,下面进一步看该商环为域的条件.

引理2[3]阶大于1的有限环若无零因子,则必为除环.

定理5 nZ/mnZ为域的充要条件是m为素数且mn.

证充分性.由m为素数且mn,则mnZ是nZ的非平凡素理想,所以nZ/mnZ为无零因子交换环.而|nZ/mnZ|=m有限且大于1,则由引理2知nZ/mnZ为域.

必要性.假设m不是素数.若m=0或m=1,显然nZ/mnZ不是域.故m＞1.若m是合数,设m=m1m2,1＜mi＜m(i=1,2),记Z/mnZ的元为k ,则

推论对商环nZ/mnZ,(i)当m=0时,与nZ同构;(ii)当m=1时,为零环;(iii)当m为合数时,为有零因子环;(iv)当m为素数且m|n时,为零乘环;(v)当m为素数且mn时,为特征是m的域且与Zm同构.

证(i),(ii)显然,(iii),(iv)由定理5的证明已得.

3 Zn的子域

定义1 若环R的子环K对R的加法和乘法作成一个域,则称K是R的子域.

定义2 设正整数n和素数p.若p|n且p2n,则称p是n的单素因子,n的单素因子的个数记为ψ(n).

定理6 对模n剩余类环Zn,(i)若Zn有p阶子域,则Zn的p阶子域只有一个,即为m Z/pm Z (n=pm);(ii)Zn有p阶子域的充要条件是p为n的单素因子;(iii)Zn的子域个数为ψ(n).

证(i)设Zn有p阶子域Kp,令n=pm,则Kp也是Zn的p阶子环.而Zn是n阶循环环,有唯一的p阶子环,m Z/pm Z已是Zn的p阶子环,从而Kp=m Z/pm Z.

(ii)若Zn有p阶子域,即为m Z/pm Z(n=pm).由定理5,p是素数且pm,故p是n的单素因子.反之,若p是n的单素因子,令n=pm,因p是素数且pm,由定理5,m Z/pm Z是Zpm=Zn的p阶子域.

(iii)若ψ(n)=0,则n没有单素因子,Zn的子域个数为0.若ψ(n)＞0,设n的全部单素因子为p1,…,pψ(n),则对每个pi,Zn有唯一的pi阶子域miZ/pimiZ(pimi=n).而当i≠j(1≤i,j≤ψ(n))时, pi≠pj,miZ/pimiZ≠mjZ/pjmjZ,故Zn的子域个数为ψ(n).

由定理6可知,Znk(n,k＞1)不含子域,求Zn的子域的方法如下:

①求出n的全部单素因子(如有的话)p1,…,pψ(n);②按定理4写出Zn的pi阶子域miZ/pimiZ

[1] 杜福昌.剩余类环Z/mZ的理想素理想极大理想[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),1989,12(1)：66-67.

[2] 李伯葓.模n的剩余类环的子环[J].南京师大学报(自然科学版),1992,15(3)：17-20.

[3] 杨子胥.近世代数[M].2版.北京：高等教育出版社,2003：167.

[4] 吴品三.近世代数[M].北京：高等教育出版社,1987.

On Ideals and Quotient Rings ofnZ

Z HA N G L ong-hui, S H I Hua-guo, Z HAO Feng-ming
(Department of Mathematics,Sichuan Vocational and Technical College,Suining,Sichuan 629000,China)

All of ideals,maximal ideals and prime ideals ofnZare given in this paper.The construction of quotient rings ofnZand the properties such that the quotient rings are fields are discussed.And the problems about the existence and the number of subfields ofZnare solved.

ideal;maximal ideal;prime ideal;quotient ring;field;subfield;single prime divisor

O153.3

A

1672-1454(2011)03-0050-03

2008-07-21;[修改日期]2008-12-23