巧设辅助元解题研究

郭小敏

摘要：从古老的分牛故事中，引出了解决初中数学问题的一种思想方法，即巧设“辅助元”解题的思想方法。人们对数学中的“未知元”较熟悉，但对“辅助元”认识较少。虽然有一些零星小论文提到过“辅助元”，但对巧设“辅助元”解数学题缺乏较系统的研究。全面地探寻“辅助元”的解题技巧，对初中数学的解题有较强的指导作用。通过大量实例，具体而翔实地展示用“分牛”思想解题即巧设“辅助元”解题的无穷魅力。

关键词：分牛；辅助元；解题

很久很久以前，古印度有一位老人，临死前，他决定把自己的财产（十九头牛）分给儿子们，老大分总数的二分之一，老二分总数的四分之一，老三分总数的五分之一。

一、利用设而不求的“辅助元”解应用题

例1：一家农机厂计划用两年时间把产量提高80%，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数（精确到1%）

因题中不知道农机厂原来的产量，给列方程增加了难度.如果设原来的产量为a，又设每年比上一年增长的百分数为x，根据题意易列出方程：

a（1+x）2=a（1+80%），消去a可求得百分数x.这里的a叫做“辅助元”。

例2：一辆汽车上山时速度为15千米/小时，按原路下山时的速度为20千米/小时，求全程的平均速度

分析此题要求的是平均速度，如果知道路程，根据题中的已知条件便能分别求出上山、下山的时间，进而能求出平均速度。路程是解决此题的关键。不妨设上山（或下山）的路程s千米为“辅助元”，设平均速度为x千米/小时，根据题意易列出方程：

（■+■）x=2s，

解方程时即可消去“辅助元”s求得x的值。

通过对上述几个例题的分析，我们可以发现，有些应用题，看起来似乎条件不充分，但可巧设“辅助元”，借助“辅助元”沟通量与量之间的关系，列出方程，在解的过程中，“辅助元”自然消去后即可求得方程的解。由此可见，“辅助元”就像建筑高楼大厦时搭起的脚手架，拆除脚手架之日正是楼房建好之时，这也正是“分牛”思想在数学解题中的灵活体现。

二、巧用需要求出的“辅助元”解题

例1：圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比是2:3:6

求这个四边形各内角的度数。

解：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=6x，根据题意，得

2x+6x=180°，则x=22.5°，

所以，∠A=45°，∠B=67.5°，∠C=135°，∠D=112.5°

答：∠A=45°，∠B=67.5°，∠C=135°，∠D=112.5°

例2：已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5

求三角形的各内角的度数。

解：设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，则

3x＋4x＋5x＝12x＝180°，

所以x=15°，

所以∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°

由上，我们不难看出，“分牛”思想运用于数学解题，是一种切实可行别出心裁的好技巧、好方法。有时，题目中的未知数较多，再引入“辅助元”，明为添乱，实际上却可以“乱中取胜”；用“分牛”思想解题，即巧设“辅助元”解题，虽名不见经传，但它却有如此之大、之活的实用性，不得不让我们另眼相看，这正应验了一句俗语：“不管白猫黑猫，能抓到老鼠的就是好猫。”

参考文献：

［1］曹佩卿.设而不求的“辅助元”.初中数学教与学，1995：8-10.

［2］李万富.“细看”得巧解.初中数学教与学，1995（14）.

（作者单位 湖南省长沙市长沙县暮云镇暮云中学）