马尔科夫理论在中长期负荷预测中的应用

黄银华， 彭建春， 李常春， 刘 鼎， 孙广强

(1.湖南大学电气与信息工程学院， 长沙 410082； 2.福建省电力勘测设计院， 福州 350003； 3.天津市电力科学研究院， 天津 300384)

马尔科夫理论在中长期负荷预测中的应用

黄银华1，2， 彭建春1， 李常春3， 刘 鼎1， 孙广强1

(1.湖南大学电气与信息工程学院， 长沙 410082； 2.福建省电力勘测设计院， 福州 350003； 3.天津市电力科学研究院， 天津 300384)

针对灰色预测模型对随机波动性较大的数据序列拟合较差、预测精度较低的情况，提出了一种基于马尔科夫灰色残差修正的预测模型，该模型考虑到马尔科夫理论中转移概率可以反映随机因素的影响、适用于随机波动较大的动态过程的特点，将其与灰色预测模型进行有机结合。文中一方面利用马尔科夫链对电力负荷的未来残差值进行修正；另一方面运用马尔科夫状态转移矩阵对未来残差值的符号进行判定。该方法弥补了灰色预测模型的固有缺陷。预测结果表明该方法在提高组合预测精度上具有可行性。

中长期负荷预测； 灰色模型； 残差修正； 马尔科夫理论； 转移概率

电力系统负荷预测的实质是根据预测对象的历史数据建立相应的数学模型，描述其发展规律。有效的负荷预测为所在地区或电网的电力发展速度、电力建设规模、电力工业布局、地区间的电力余缺调剂、以及电网资金和人力资源的平衡提供了可靠的依据[1]。目前，国内外有关中长期负荷预测的理论和方法很多，大致可分为经典预测和现代预测两类。

电力负荷预测的核心问题是预测的数学模型的建立。灰色GM(1，1)模型是最常用的一种灰色模型，它是由一个只包含单变量的一阶微分方程构成，是GM(1，n)模型的特例。该方法的实质是对原始数据序列进行一次累加生成，使其成为具有指数增长趋势变化规律的数列，然后建立GM(1，1)模型，即建立微分方程。求解该微分方程得到方程参数值，进而求得累加数列的灰色预测值，最后通过累减还原得到原始序列的预测。

灰色GM(1，1)模型自问世来，在负荷预测中得到了广泛的应用。该预测模型主要适用于时间短、样本数据少、波动不大的系统对象，其预测趋势都是一条较为平滑的曲线，对于随机波动性较大的数据序列拟合较差，预测精度较低[2～4]。为此，人们提出了一系列改进的算法，如干涉因子灰色预测模型、新信息GM(1，1)模型、新陈代谢GM(1，1)模型等，这些算法分别从不同的角度对GM(1，1)模型进行了一定程度的改进。其中，残差GM(1，1)模型在实际中应用最为广泛，但其预测精度仍然不够理想。

鉴于此，本文充分利用马尔科夫适合预测随机波动大的动态过程的特点，在残差灰色模型的基础上，通过引入马尔科夫链对电力负荷的未来残差进行修正，同时运用马尔科夫状态转移矩阵判断残差预测值在k>n时的符号。该方法同时综合了灰色预测模型和马尔科夫链的优点，弥补了灰色理论本身所具有的缺陷。实例表明，该方法简单可靠，具有很好的实用性。

1 马尔科夫链基本原理

马尔科夫[5，6]过程是具有无后效性的随机过程。无后效性是指在已知“现在”的条件下，“将来”的状态与“过去”的状态无直接关系。时间和状态都离散的马尔科夫过程，为马尔科夫链。

对离散空间E中的随机序列{Xt，t=1，2，…}，若对于任意的非负整数n、l、k及任意的非负整数t1，t2，…，tl(t1tl)满足

p{Xn+k=in+k|Xt1=it1，Xt2=it2，…，

Xtl=itl，Xn=in}=

p{Xn+k=in+k|Xn=in}

(1)

则随机序列{Xt，t=1，2，…}即为马尔科夫链。

设系统的状态有n个，系统在tm时间处于状态i的条件下，在下一时间tm+1转为状态j的概率为pij，则称pij为一步转移概率。将pij依序排列，即构成了一步转移概率矩阵P=(pij)n×n。一步转移概率矩阵具有下列性质。

(1)pij(m)≥0i，j∈E

同理，系统从tm时间的状态i，经过k步转移到时间tm+k的状态j的概率为pij(k)，则pij(k)称为k步转移概率。k步转移概率矩阵为P(k)=(pij(k))n×n。已知Xt的分布，则可推知：Xt+k=Xt·pk。

2 加权马尔科夫灰色残差修正模型

2.1 基于加权马尔科夫链的残差修正

设原始负荷序列x(0)为

x(0)=[x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)]

(2)

用传统的灰色GM(1，1)模型[7]对原始数列x(0)序列进行预测，得到初步预测值

(3)

原始数据列与预测数列之差为残差，记为

(4)

令

ε(0)(k)=|q(0)(k)|

(5)

残差序列ε(0)可定义为

ε(0)=(ε(0)(1)，ε(0)(2)，ε(0)(3)，…，ε(0)(n))

(6)

令

(7)

为残差的灰拟合精度指标[8]。

残差的GM(1，1)模型拟合曲线是一指数曲线，Y(k)反映了原始数据围绕拟合曲线的波动程度，也反映了残差的动态时变程度，其变化趋势呈非平稳随机的特点，运用马尔科夫链的无后效性，对灰拟合精度指标的波动规律进行分析，来修正残差灰色GM(1，1)模型预测结果，提高预测精度。传统的马尔科夫链预测方法有两种：基于绝对分布的马尔科夫链预测方法和叠加马尔科夫链预测方法。为提高系统状态间的转移概率，文中采用加权马尔科夫链预测理论[8～10]来更好地解决随机波动性大的数据序列的预测精度。

(1)灰拟合精度指标Y(k)状态划分

灰拟合精度指标Y(k)是一个随机波动的非平稳过程，不同年度状态的边界和内涵是变化的，因而需要考虑一个状态分类的方法，使Y(k)划分为m个状态。对于状态的分类，常用的方法有均值-均方差分级法、聚类分类法、以及最优分割法[11～13]。为简单起见，本文拟采用均值-均方差分级法对灰精度指标Y(k)进行状态划分。任一状态表示为

Ei∈[⊗1i，⊗2i]i=1，2，…，m

(8)

式中：Ei表示第i种状态，⊗1i和⊗2i分别表示第i种状态的下界和上界。

对于灰精度序列Y(k)，可求得其样本均值为

(9)

进而可得样本标准差为

(10)

在实际应用中，区间划分应依实际情况进行改进。

(2)构造状态转移概率矩阵

根据状态划分标准确定各时段的灰精度指标Y(k)所对应的状态。并对其进行统计，可得不同滞时(步长)马尔科夫链的状态转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程的概率法则。

(11)

这样可得m×m阶状态转移概率

(3)计算各阶自相关系数rk(k∈E)，确定各滞时的马尔科夫链的权重

为正确反映各阶(各种步长)对马尔科夫链预测值的影响权重，采用Y(k)各阶自相关系数反映权值大小，即

(12)

式中：Y(l)为第l时的灰拟合精度指标；rk为第k阶自相关系数。对各阶自相关系数做规范化处理

(13)

将它们作为各种步长的马尔科夫链的权重，m为按预测需要计算的最大阶数。

(4)灰拟合精度指标状态的加权马尔科夫链预测

以前一年的残差预测灰拟合精度指标所对应的状态为初始状态Ei，结合其相应的转移概率矩阵的行向量即可预测出该年灰预测精度指标的状态转移概率向量为

(14)

由m阶状态转移概率向量形成的矩阵，称为m阶加权状态转移概率矩阵。

将同一状态的各预测概率加权和作为灰预测精度指标值处于该状态的转移概率，即

(15)

max{pi，i∈E} 所对应的状态即为该年灰预测精度指标的加权马尔科夫预测状态。

(5)灰精度指标预测及残差的确定

(16)

(17)

(18)

其中m(k+1)为符号函数，且有

(19)

当k≥n时，m(k+1)的值为提高灰色预测精度的关键。

2.2 基于马尔科夫链的残差符号的判定

为正确求得在k≥n时m(k+1)的值，文中继续引入马尔科夫过程。

假令残差的符号为正的时候，定义为状态1；残差的符号为负的时候，定义为状态2。这样，可得从状态i到状态j的一步状态转移矩阵为

(20)

n=1，2，…

(21)

基于马尔科夫的灰色残差的负荷预测模型的计算流程如图1所示。

图1 计算流程

3 算例分析

为了测试改进模型，本文采用文献[7]提供的1979-1990年石家庄电网的年度售电量数据，利用1979-1986年的数据(见表1)，采用本文的预测模型对1987-1990年该地区的售电量进行预测。

将表1中年份1979-1990重新编号为1、2、…、11、12，对应售电量作为模型输入的原始数据。

表1 1979-1990年售电量数据

表2 初步预测结果

从表2中发现灰精度指标波动性较大。对灰精度指标进行加权马尔可夫链预测。

本文拟采用均值-均方差分级法对1979-1986年的灰拟合精度指标数据进行状态划分，划分结果如表3所示。

表3 灰精度指标状态表

根据状态划分表确定1979-1986各年灰拟合精度指标的对应状态，如表4所示。

表4 1979-1986年灰精度指标序列及其状态

对所得结果进行统计计算，可得不同滞时(步长)的一步转移概率矩阵为

它决定了指标值状态转移过程的概率法则。

按式(12)和式(13)可计算得各阶自相关系数及各步长马尔科夫链的权重。各阶的自相关系数及各种步长的马尔科夫权重见表5。

表5 各阶自相关系数及各种步长的马尔科夫权重

分别以1982-1986年的灰度指标，结合相应的状态转移概率矩阵对1987年的灰精度指标状态进行预测，结果如表6所示。

表6 1987年灰精度指标状态

另一方面，根据1982-1986年残差的符号状态，进一步利用马尔科夫链对1987年的残差符号状态进行预测。

由表2统计得：状态1和状态2各出现了4次。其中由状态1向状态1转移的次数为2次，状态1向状态2转移的次数为1次；同理，可得状态2向状态1转移的次数为2次，状态2向状态2转移的次数也为2次。综上所述，得到一步概率转移矩阵为

这样可得1987年修正后的售电量预测值为

表7 真实值与预测值比较

由表7可知基于马尔科夫链的灰色残差修正预测模型的预测精度明显比平滑处理灰色预测模型的预测精度高。算例中，预测误差较大的原因主要是因为修正模型中的灰色预测模型的预测效果较差，如果提高灰色预测模型的精度，则基于马尔科夫灰色残差修正预测模型的效果会更好、更明显。提高本文预测精度的方法除了从改善灰色预测模型精度方面外，还可以从改进马尔科夫链算法的角度进行考虑。比如，采用更为合理的状态划分方法以及更为合理残差修正方法等，限于篇幅，本文暂不做更多的讨论。

4 结语

本文在残差灰色理论的研究基础上，考虑到灰色模型能揭示数据发展趋势、马尔科夫模型可以确定状态转移规律的特点，把两者有机地结合起来对未来预测残差值大小进行修正，同时对其符号进行判定。该方法综合了二者的优点，弥补了灰色预测模型在预测结果的精确性和可信任性方面表现出的固有缺陷。实证分析表明，该方法模型简单、计算量小，比单独运用GM(1，1)模型精度高，具有可行性。

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ApplicationofMarkovTheoryinMid-LongTermLoadForecasting

HUANG Yin-hua1，2， PENG Jian-chun1， LI Chang-chun3， LIU Ding1， SUN Guang-qiang1

(1.College of Electrical and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China; 2.Fujian Electric Design Institute, Fuzhou 350003, China; 3.Tianjin Electric Power Science & Research Institute, Tianjin 300022, China)

Based on the fact that using GM(1,1) model to the high waving peak load has low precision on simulation and forecast, a novel combinatorial forecasting algorithm based on Markov chain is proposed in this paper. Deliberate on the features of Markov theory which can reflects the influence on random factors and extend to the stochastic process which is dynamic and fluctuating is considered, and it is seamless integrated with GM(1，1)model. On the one hand, this paper uses Markov chain to correct the future residual of electrical load, on the other hand, the state transition matrix of Markov is adopted to forecast the sign of future residual. This method make up the fundamental disadvantages of GM(1，1)model. And the results of the load forecasting indicate the feasibility of the proved method.

mid-long term load forecasting； GM(1，1) model； residual error correction； Markov theory； probability transition

2010-04-23；

2010-06-12

TM714

A

1003-8930(2011)05-0131-06

黄银华(1983-)，男，硕士研究生，研究方向为电力系统优化运行与控制、电网规划。Email:hyhtaf123@163.com 彭建春(1964-)，男，博士，教授，博士生导师，主要从事电力市场，电力系统优化运行与控制的研究。Email:jcpeng@163.com 李常春(1985-)，男，硕士研究生，主要从事电力系统高压计量工作。Email:Licc535@163.com