凝聚环的扩展研究

张金羽

（河南工业大学 理学院，河南 郑州 450052）

定义1设A为左R-模，若A为f.g.的，且A的每个f.g.子模为f.p.的，则称模A为凝聚模。

定义2设R为环，若R作为左R-模为凝聚的，则称R为左凝聚环。

类似地，可定义右凝聚环。

定义3令∏=∏RR为任意个RR的积，若∏的每个f.g.子模为f.p.的，则称环R为左Π-凝聚环。

类似地，可定义右Π-凝聚环。

定义4设R为环，令⊕=⊕RR为任意个RR的上积，若⊕的每个有限生成子模为有限表现的，即任一自由模的每个f.g.子模为f.p.的，则称R为左弱∏-凝聚环。

类似地，可定义右弱Π-凝聚环。

显然，Π-凝聚环为弱Π-凝聚环，而弱Π-凝聚环为凝聚环。

定义5一个模A称为弱余生成的是指它可嵌入一个自由模中，即有正合列0→A→RR(I)，其中I为任意集合。

定理1设R为环，则下列陈述等价：

（1）R为左弱Π-凝聚环；

（2）每个f.g.弱余生成的左R-模为f.p.的。

证明（1）⇒（2）。设A为 f.g.弱余生成的左 R-模，即有正合列，从而A为⊕RR的f.g.子模，由左弱Π-凝聚环的定义，有A为f.p.的。

（2）⇒（1）。设A为⊕RR的f.g.子模，即A为弱余生成的，从而A为f.p.的，故R为左弱Π-凝聚环。

凝聚环和凝聚环上f.p.模的性质，对于弱Π-凝聚环和弱Π-凝聚环上的f.g.弱余生成模也成立。

命题1 设R为交换弱Π-凝聚环，若A和B为f.g.弱余生成R-模，则HomR(A，B)为f.g.弱余生成的。

证明因A为f.g.弱余生成R-模，由定理1可知，A为f.p.的，从而有R-模的正合列

其中 F1，F0为 f.g.自由模，由于函子 HomR( -， B)为左正合反变函子，故有正合列

而

由正合列

其中 HomR(F0，B )。Imφ*为 f.g.的，从而 HomR(A ，B)为f.g.的，而 HomR(F0，B)为弱余生成的， HomR(A，B)为它的子模，故 HomR(A，B )为f.g.弱余生成的。

命题2设R为交换弱∏-凝聚环，若A，B为f.g.弱余生成R-模，则和为f.g.的。

证明因A为f.g.弱余生成R-模，R为弱Π-凝聚环，故A为f.p.的，从而有R-模的正合列

其中每个Fi为f.g.自由模。

从而有复形

故

因

B为f.g.弱余生成的，故 B(m)为f.g.弱余生成的，即为f.g.弱余生成模，又 R为弱Π-凝聚环，从而为 f.p.的，∀i≥0考虑正合列

命题 3设 R为左弱Π-凝聚环，A为 f.g.弱余生成左R-模，n（≥-1）为整数，则下列陈述等价：

证明（1）⇒（2）显然。

（1）⇒（2）。对结论（2）采用数学归纳法证明。

若 n=-1，由（2）有 HomR(A ，B) = 0，其中B为任意f.g.弱余生成左R-模，故 HomR(A ，A) = 0，从而有A=0，所以l.P dRA=-1。

若n=0，显然A为f.p.的，故有R-模的正合列

其中F为f.g.自由模，k为f.g.弱余生成左R-模，因此由（2）及上同调长正合列定理有正合列

若n≥1，类似地，有正合列

而F为自由模，B为f.g.弱余生成模，故

由归纳法假设有

另由正合列

可知 l. PdRA ≤ n.证毕。

定义6 设R为环，若对任意f.p.左R-模A都有

定理2环R为左弱FP-内射环⇔每个f.p.右R-模为弱余生成的。

推论1设R为左弱∏-凝聚，左弱FP-内射环，A为任意f.g.弱余生成左R模，则下列陈述等价：

（1） l.P dRA ≤ n ；

证明（1）⇒（2）。由于左弱Π-凝聚环R上f.g.弱余生成左 R-模为 f.p.的，从而由凝聚环的性质有l.fdRA=l.P dRA，故当 l. PdRA ≤ n 时，必有，对

知R/I为 f.p.的，从而由定理 2知R/I为 f.g.弱余生成右R-模，故由（2）又有

（2）⇒（1）。对任意f.g.右理想，由正合列