四阶常微分算子特征值的重数相等

林运春

（1．内蒙古工业大学 理学院，内蒙古 呼和浩特 010051;2．肇庆学院 计算机学院，广东 肇庆 526061）

四阶常微分算子特征值的重数相等

林运春1，2

（1．内蒙古工业大学 理学院，内蒙古 呼和浩特 010051;2．肇庆学院 计算机学院，广东 肇庆 526061）

借助解析重数和几何重数的基本定义及边界条件的几何结构，证明了自伴的四阶常微分算子特征值的解析重数与几何重数是相等的,该结论是对常型Sturm-Liouville问题相关结果的推广．

四阶常微分算子；自伴边条件；解析重数；几何重数

常型的Sturm-Liouville问题是一个经典问题，对其特征值解析重数和几何重数关系的研究，已经有很多非常好的结论和方法．文献[1]证明了在分离型自伴边界条件下，特征值的解析重数和几何重数相等;文献[2]证明了在混合自伴边界条件下，特征值的解析重数和几何重数相等．遗憾的是文献[1]的方法不能推广到四阶常微分算子上来．文献[3]利用边界条件空间的几何结构，对常型Sturm-Liouville算子的重数问题给了一个巧妙的证明．更重要的是，这个方法可以推广到四阶常微分算子上来．本文中，笔者利用文献[3]中的方法，证明了四阶自伴常微分算子特征值的解析重数与几何重数相等．

考虑四阶常微分方程

在边界条件

下形成的边值问题．其中

λ∈C叫做谱参数．对于一个区间J⊆R,Lloc((a,b),R)表示在区间J上所有的紧子区间上都Lebesgue可积的实值函数构成的空间．区间端点a,b均为正则点;否则，可假定奇异端点a和b都是极限圆形，即对某个（所有）λ∈C，式(1)所有的解都属于加权Hilbert空间Lω2((a,b),C)，ω是权函数．

本文中，笔者研究的是该边值问题在边界条件(2)自伴的情况下特征值重数的关系．

1 预备知识

对于任意的m,n∈N，用Mm,n(C)表示m×n型复矩阵组成的矢量空间，(C)是Mm,n(C)中最大秩为

其中:A(apq→apq＋s)表示在边界条件A中以apq＋s代替apq．通常把这12条曲线都记为B(s)．都有B(0)＝A．设Λ是通过λ*的连续特征值分支，因为λ*的几何重数为1，由引理3，Λ(B(s))在s＝0处可微．下面证明Δ′(λ*)≠0．

对上述12条曲线，边界条件B(s)对应的特征记为ΔB(s)，则ΔB(s)(Λ(B(s)))＝0,等式两边在s＝0处对s求微分，利用链式法则得

1)1≤p≤2,3≤q≤4．

当p＝1,q＝4和p＝2,q＝3时，

本文在导师王忠教授的悉心指导下完成，笔者在此表示感谢．

[1] EASTHAME M,KONG Q,WU Hongyou,et al.Inequalities among eigenvalues of Sturm-Liouville problems[J].JInequal Appl,1999(3):25-43.

[2] KONG Q,WU Hongyou,ZETTL A.Geometric aspects of Sturm-Liouville problem I.Structures on spaces of boundary conditions[J].ProcRoySocEdinburgh SectA,2000,130:561-589.

[3] WANG Zong,WU Hongyou.Equality of multiplicities of a Sturm-Liouville eigenvalue[J].JMath Anal Appl,2005,306:540-547.

[4] CAO Xifang,WU Hongyou.Geometric aspects of High-order eigenvalue problems I.Structures on spaces of boundary conditions[J].IJMMS,2004,13:647-678.

[5] 曹之江.常微分算子[M].上海:上海科学技术出版社,1987:29-32.

Equality of Multiplicities of a 4-Order Ordinary Differential Operator Eigenvalue

LIN Yunchun1，2

(1.College of Science,Inner Mongolia University of Technology,Hohhot,Inner Mongolia 010051,China;2.School of Computer Science,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China)

By virtue of analytic and geometric multiplicities'basic definition and the geometric structure on the space of boundary conditions,the equality between analytic and geometric multiplicities of an adjoint forth-order ordinary differential operator are proved,which is an analogue to the case of the regular Sturm-Liouville problem.

forth-order ordinary differential operator;self-adjoint boundary conditions;analytic multiplicities;geometric multiplicities

O175．9

A

1009－8445（2011）02－0008－07

（责任编辑：陈 静）

2010－10－15

肖汉敏(1980－),男,广东兴宁人,肇庆学院电子信息与机电工程学院讲师,博士．