注重内在联系 构建知识网络

彭英华

新课程标准指出：“在数学课堂上，我们要把重点放在系统地掌握课程内容的内在联系上，放在掌握分析问题的方法和解决问题的能力上。”笔者认为，当今的中学数学教学，必须依照新课程的理念，倡导创新思维，在知识传授的同时注重知识内在联系的挖掘，构建知识网络，培养学生数学素质和创新能力。下面就我从事高中数学教学的实践，谈一点体会。

一、培养整体意识，克服机械分割

构建知识网络的关键是培养整体意识，克服机械分割。中学数学是各部分知识有机结合的一个整体结构，是一个集知识、技能、方法于一身的体系，因此在高中数学教学，尤其是在高考复习指导中，要突出高中数学的整体性，综观2008、2009两年的高考数学试题，可以看到，命题的立意、情境、方式的设置等各个方面都充分展示了考查“双基”中侧重考查能力的目的，注重了学科的内在联系和知识的综合，在知识网络交汇点设计试题。例如文21题、理20题，集复数、三角、函数、不等式等内容于一体，不是知识点与方法的机械堆砌，而是多个知识在交汇点处的有机融合。再如理23题，将函数、数列、极限、解析几何、不等式融于一体，综合程度之高，为历年所罕见。

在数学教学中，重点应放在知识的间接和直接的联系上，放在让学生学会学习和掌握通性通法上，让学生参与数学概念的抽象过程，思想方法的产生、发展、形成过程的讨论，让学生充分观察、猜想、归纳、综合，引导学生注重挖掘知识与知识之间、学科与学科之间纵向和横向的内在联系，在这个基础上，深化认识，构建网络。只有这样，才能从根本上提高学生的能力，提高对数学的认识，培养学生的数学素质。

例如，一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的内容、方法和应用贯穿于初高中数学教学之中，不能机械地分割成三块，要让学生感知三者的整体性态及深层次地理解三者的内在联系，会处理在指定区间上研究其局部性质，深化主体内容，明确二次函数在三者中的统率作用。通过三块内容的整体教育，在数学思想方法上，将函数与方程、数形结合、分类讨论等构建成数学思想网络，在知识上将代数、三角、解析几何等内容中的相关点构建成知识网络，达到提高学生数学能力之目的。

二、展示知识形成过程，正确应用数学概念

构建知识网络的前提是展示知识形成过程，正确理解和应用数学概念。数学是一个各部分密切联系的逻辑体系，由概念来组成命题，由命题来作出判断，由判断来组成证明。

例1：（04年高考题）设f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，则f（7.5）等于（）。

(A)0.5(B)－0.5 (C)1.5 (D)－1.5

对于这个题目，在考场上学生不会去想得很多，如果我们用来复习和练习，则可以让学生思考更多，以深化对数学概念的理解。教学中可分层次设计以下设问：

（1）浅层次的设问：怎样直接求解？（由条件得f(7.5)＝－f(5.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝-）

（2）深层次的设问：由已知f（x＋2）＝f（x），你能推出（猜想）f（x）具有哪些性质？

提示学生：f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）这个关系式对所有x成立，这意味着什么呢？（f(x)是以4为周期的周期函数）

（3）高层次的设问：这个函数既是奇函数又是周期函数，那么能否写出这个函数在整个定义域上的解析式？（学生觉得处在“心欲求而未得，口欲言而不能”的境地。）

教师点拨：能否画出这个函数的图象，引导学生将f（x＋2）＝－f（x）的几何意义作一番讨论。

由f（x＋1）＝f[2＋（x－1）]＝－f（x－1）＝f（1－x）表明f（x）的图象关于x＝1对称，又f（x）是奇函数，图象应该关于原点成中心对称，结合f（x）是周期为4的函数，就可画出f（x）的图象：

由图象可得解析式为：

y=

这样有意识地引导学生研究函数，分析问题，可以让学生知道概念不仅仅只是定义，概念就是我们研究对象的所有属性的总和，对概念的理解，不只是背它的定义，而是理解概念的本质属性和由此带来的其他属性。

例2：已知F1、F2是双曲线-y2=1的两个焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝90则△F1PF2的面积等于（）。

（A）1（B）（C）2（D）

对于例2，不是让学生直接作答，问学生应选哪一项，而是引导学生多方面、多角度、多层次地分析构建知识网络。

首先F1、F2是双曲线的两个焦点，线段F1F2是三角形的底边，由方程可得F1（－，0），F2（＋，0），从而|F1F2|=2。

设问点拨（1）：接下去求出什么就可以求其面积？

学生自然想到求|F1F2|边上的高＝>求点P的纵坐标的绝对值|yp|。

设问点拨（2）：求|yp|属于哪一种通法来解决呢？（就应当把点P看成二曲线的交点：第一条曲线是双曲线，第二条曲线是什么呢？让学生思考），由∠F1PF2＝得知点P在以F1F2为直径的圆x2＋y2＝5上，从而找到了第二条曲线，可求P的纵坐标。整个思路把解析几何的三基（基本知识、概念，基本技能，基本方法）都用上了。到此不是为止而是顺其思路引导学生作深层次的考虑：要不要解方程组呢？（无须解方程组只须消去x2得y2＝>|y|。）

进而启发学生，解此题还有没有其他方法？事实上此题还有更加简捷的方法，这就是利用定义去思维。

由定义可得：

r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，|r1－r2|＝4，①r21＋r22＝|F1F2|2＝20。②由②－①2，得2r1r2＝4。∴S△F1PF2＝r1r2＝1

这样不仅让学生学会用概念去思考，而且引导学生对双曲线定义的深入理解。

若将90山莯%Z，就可以把正、余弦定理结合进去。

在数学教学中，若能坚持从培养学生能力这个目的出发，精选例题，引导学生多方位、多角度、多层次地思考，构建知识、方法、技能网络，形成一种思维习惯，就能把学生从“题海”中解放出来，轻负担高质量，培养创新能力。

三、运用数学思想方法，揭示知识的内在联系和发展规律

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用过程中。数学思想方法蕴含于知识的教学之中，又相对超脱于知识的教学，单纯的知识教学只显见于学生的知识积累，而思想和方法的教学则默化于能力的提高过程之中。

（一）用函数的思想方法，揭示变量的变化规律及相互联系

函数描述客观世界中量与量之间的依存关系，刻画了数学问题中数量的本身特征和相互制约。函数思想其实就是用变化与联系的观点，来提出数学问题，抽象其数量特征，通过建立关系式，运用函数理论正确地揭示量与量之间的关系和变化特征。

例3：设函数f（x）＝lg（%Zx2＋2x＋1），其中%Z∈R，⑴若f（x）的定义域是R，求实数%Z的取值范围；⑵若f（x）的值域是R，求实数%Z的取值范围。

对于这个问题，从题目的文字关系看，题意非常清楚，但是解题的关键还是让学生正确理解题意。

一问：什么是定义域为R，这个学生很清楚，所谓定义域为R，当x取遍一切实数时它的真数恒为正数。显然%Z＝0时，真数不可能恒为正数，∴%Z≠0时，使%Zx2＋2x＋1＞0恒成立，即 %Z＞1。

二问：什么叫做f（x）的值域为R，对于这一问，我做过试验，很多学生都会犯同样的错误，他们觉得第二问与第一问没有什么区别，实际上第二问要使值域为R，就意味着这个真数能取到所有的正实数，这个真数什么时候才能取到所有的正实数呢？二种可能性：

①%Z＝0，2x＋1＞1只须x＞－就满足条件；

②%Z≠0，抛物线的开口向上且与x轴至少有一个交点，即由①②可得0≤%Z≤1。

此题叙述不长，题意清楚，但概念性很强，这样的题能正确引导学生理性地思维。只要思维正确，不需很大的运算就能得到正确的结果。这种命题是高考命题新趋势，它不以运算量大取胜，而是以能否正确理解题意、作出理性思维、正确判断取胜。

例4：设函数f（x）＝log%Z（1＋x），g（x）＝log%Z（1－x）（%Z＞0且%Z≠1），若k∈R，试就k的不同取值，讨论关于x的方程af(-x2+x+1)=ag(k)-x的实数解的个数。

人的认识常有从局部到整体的规律，但数学题中，往往要从整体来看局部，此题从整体上来分析，原方程即为：即原命题即可转化为在－1＜x＜2且k＜1的条件下，求方程x2－2x－1＝k的实数解的个数，（常规思维是就方程在区间(－1，2)内的实根的分布情况求k的范围，这样需分情况讨论，显然运算量大，容易出错），考虑到纵横联系，转化解题思维，把“实数解”的个数，看成是函数y1＝x2－2x－1（－1＜x＜2）与y2＝k（k＜1）的图象的交点个数，那么只需作出草图，问题的结论就会明显地展现在你的眼前，由上图可得，当k＜－2或k≥1时，无实数解；当－1≤k＜1或k＝－2时为一个实数解；当－2

上述教学设计不仅有意识地抓住时机帮助学生深化理解函数思想，而且让学生在重新发现数学方法的过程中，构建知识网络，较好地训练了学生的数学素质，提高了学生的数学能力。

（二）用转化的思想方法，建立知识的纵向与横向的联系

数学解题的思维过程，其实就是一个问题转化的思维过程，将较复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知问题，将非常规的问题转化为常规的问题，将动态问题转化为静态问题等等。合理地转化、巧妙地化归是解决数学问题的高层次策略。通过转换数学语言，转化表述形式，转化数学关系，转化解题思维等构建知识网络，是提高数学能力和素质的有效手段。

例5：已知复数z满足%Zrg（z＋4）＝，求|z|的最小值。

解例5，关键是将数学符号语言%Zrg(z＋4)＝及|z|转化为图形语言和文字语言，使问题的含义明显化，显然“%Zrg（%Z+4）= ”翻译成图形语言，是图中的射线 AB上的点对应的复数z， 而|z|即点z到原点的距离，由图易得|z|的最小值即为原点到射线AB的距离，即|z|min＝2。

例6：已知抛物线C的顶点为A，证明存在定点M，过M的动直线l与C交于P、Q两点且∠PAQ恒为直角。

初读试题，使人感到难于着手。若能转化命题的表述形式，不难发现，原命题可转化为：“已知抛物线C的顶点为A，证明：过A作抛物线C的两条互相垂直的弦AP、AQ，则直线PQ恒过定点（即M）。”这样，证题思路自然引出：设抛物线C的方程为：y2＝2px，点P、Q是C上两点，∠PAQ＝90萈A＝k，则kAQ＝－，由及解得P、Q的坐标p（， ），Q（2pk2，2pk），则PQ的方程为k（x－2p）＋（k2＋1）y＝0，故PQ恒过定点（2p，0），∴原命题成立。

综上所述，如果我们能以新课标的理念实施教学，大胆改革教学方法，充分展示数学知识、方法形成和发展的思维过程，不断引导学生挖掘各知识点的内在联系，沟通知识间的纵向与横向的联系，构建知识网络，重视对学生的思维训练和数学素质的培养，这样定能真正实现“轻负担，高质量”的最佳教育境界。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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