Hilbert空间中的平衡问题与不动点问题的复合迭代方法

李亚琼，谷 峰

（杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036）

Hilbert空间中的平衡问题与不动点问题的复合迭代方法

李亚琼，谷 峰＊

（杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036）

在Hilbert空间中引进并研究一种新的复合迭代算法，借以寻求平衡问题的解集、非扩张映像不动点集和变分不等式解集的一个公共元素．所得结果改进并推广了最近一些人的最新结果．

平衡问题；非扩张映像；α－逆－强单调映像；不动点；复合迭代算法

1 预备知识

对于变分不等式问题，有u∈VI（C，A）⇔u＝PC（u－λAu），∀λ＞0．

称集值映像T：H →2H是单调的，如果 ∀x，y∈H，f∈Tx，g∈Ty，有〈x－y，f－g〉≥0．称单调映像T：H→2H是极大的，如果T的图G（T）＝｛（x，y）：y∈Tx｝不是任何另外单调映像的图的真子图．易知，单调映像T是极大的当且仅当对于（x，f）∈H×H，〈x－y，f－g〉≥0，∀（y，g）∈G（T）⇒f∈Tx．

设A是C到H的α－逆 －强单调映像，NCv表示C在点v∈C的正规锥，即NCv＝｛w∈H：〈v－u，w〉≥0，∀u∈C｝．定义

众所周知，在实Hilbert空间H 中，对 ∀x，y∈H 和λ∈ ［0，1］，有

则有下式成立：

1）Tr是单值的；

2）Tr是强非扩张的，即 ‖Trx－Try‖2≤ 〈Trx－Try，x－y〉，∀x，y∈H；

3）F（Tr）＝EP（F）；

4）EP（F）是闭凸的．

2 主要结果

定理1 设C是实Hilbert空间H的非空闭凸子集，F是C×C到R的二元函数，满足条件（A1）－（A4），设S是C到H 的非扩张映像，A是C到H 的α－逆 －强单调映像，使得F（S）∩VI（C，A）∩EP（F）≠ Ø，设f是H 到自身的压缩映像，｛xn｝，｛un｝，｛wn｝是由下式定义的序列：

证明 下面将分5步来完成本定理的证明．

［1］Rockafellar R T．On the maximality of sums of nonlinear monotone operators［J］．Trans Amer Math Soc，1970，149：75－88．

［2］Rockafellar R T．Monotone operators and proximal point algorithm［J］．SIAM J Control Pptim，1976，14：877－898．

［3］Xu Hongkun．Iterative algorithms for nonlinear operators［J］．London Math Soc，2002，66：240－256．

［4］Blum E，Oettli W．From optimization and variational inequalities to equilibrium problems［J］．Math Student，1994，63：123－145．

［5］Flam S D，Antipin A S．Equilibrium programming using proximal－like algorithms［J］．Math Program，1997，78：29－41．

［6］Opial Z．Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings［J］．Bull Amer Math Soc，1967，73：595－597．

［7］Su Yongfu，Shang Meijuan，Qin Xiaolong．An iterative method of solution for equilibrium and optimization problems［J］．Nonlinear Anal，2008，69（8）：2709－2719．

Abstract：This paper introduced and studied on a new composite iterative algorithm in Hilbert space to find a common element among the set of solutions for equilibrium problems，the set of fixed point of nonexpansive mappings and the set of variational inequalities．The results presented can extend and improve the corresponding results announced by many others．

Key words：equilibrium problem；nonexpansive mapping；α－inverse－strongly monotone mapping；fixed point；composite iterative algorithm

Composite Iterative Methods for Equilibrium Problems and Fixed Point Problems in Hilbert Spaces

LI Ya－qiong，GU Feng
（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

O177．91 MSC2010：47H09；47H10；47H17

A

1674－232X（2011）01－0034－08

10．3969／j．issn．1674－232X．2011．01．007

2010－03－28

国家自然科学基金项目（10771141）；浙江省自然科学基金项目（Y605191）；杭州师范大学研究生创新基金项目；杭州师范大学研究生教改项目．

李亚琼（1984—），女，安徽定远人，应用数学专业硕士研究生，主要从事非线性泛函分析研究．

＊通信作者：谷 峰（1960—），男，辽宁沈阳人，教授，主要从事非线性泛函分析研究．E－mail：gufeng99＠sohu．com