一类高考题解法再思考——高数背景下，慎用高数结论

441021 湖北襄阳四中 马海俊

近几年，高考数学压轴题中常出现函数型不等式的恒成立问题，可归结为“对∀x≥0时，f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立，其中g(x)含有参数a，试确定a的范围”.此类问题综合性强，难度大，能力要求高.对于考生能够起到一定的甄别及选拔功能.张润平老师在文［1］中，利用高数知识，给出如下命题，并通过此命题解决了几例高考题.笔者在学习了张老师的文章之后深受启发，感觉如果老师能站在高数背景下讲解数学考题，势必会有一种高屋建瓴之气势，对于学生开拓视野，提升能力也极为有用.可是，当我再细细品味张老师文章，发现张老师的命题稍有瑕疵.今整理出来与张老师及各位同行交流.

张老师在文［1］中给出以下证明过程：

则F(x)在［m，t］上连续，在(m，t)内可导.

由拉格朗日中值定理知：∃ξ∈(m，t)，使得

成立，

则F(t)=F'(ξ)t，

∴F(x)=F'(ξ)x，由于F(x)=f(x)-g(x)≥0，

∴ 当x＞0 时，F'(ξ)≥0，即F'(ξ)=f'(ξ)-g'(ξ)≥0，

∴ 当x＞0时，f'(x)≥g'(x)恒成立.

细细推敲张老师的证明过程发现问题出在ξ上.证明过程中ξ只是存在，却不是任意的.尽管t是任意的，但是对应于每个t，一旦取定，在区间(m，t)内，都是存在ξ使得F'(ξ)=f'(ξ)-g'(ξ)≥0成立，即 ξ不是取遍区间(m，t)内所有值.所以不能因为能找得到 ξ使得F'(ξ)=f'(ξ)-g'(ξ)≥0 成立，就下结论对任意的x＞0，f'(x)≥g'(x)恒成立.

通过以上分析，我们发现，尽管目前高考压轴题虽然大多具有高数背景，具备一定的高数知识有助于解题，但在使用有关结论及定理时，要慎重考虑定理成立的条件，不然就会出现以特例代替一般而犯错.

事实上，张老师在文［1］中选择的五个例题之所以使用命题可以解答，得到正确答案，就在于题目本身隐含了一个条件，那就是构造函数F(x)=f(x)-g(x)后二阶导数是大于或等于零的，这就说明F'(x)是一个增函数，再有初始条件F'(x0)=0，就能得到x＞x0时，f'(x)≥g'(x)恒成立.

下面仅以文［1］中例1为例说明.

(Ⅰ)，(Ⅲ)略

(Ⅱ)若f(x)≥lnx在［1，+∞)上恒成立，求a的取值范围;

此时，令 F(x)=f(x)-lnx，则

上述过程再次告诉我们，利用高数命题简化证明的过程中，一定要注意充分挖掘隐含条件，慎将高数结论推广.

1 张润平.高等数学背景下一类压轴题的简解［J］.中学数学(高中版).2011，2