基于均匀圆阵的方位估计及互耦自校正算法

闵永生，罗景青，吴世龙

（解放军电子工程学院电子对抗信息处理重点实验室，安徽 合肥 230037）

0 引言

目前，对于星载基站的研究越来越多。由于受卫星体积的限制，一般的星载基站都会采用小间距的阵列，而对于阵元间距小的阵列，其互耦问题一直是一个重要的研究方向。一般的解决互耦问题的方法都是先对互耦系数进行测量，再通过互耦系数的测量值来对DOA估计算法进行修正［1］。但互耦的测量精度往往不能满足实际的工程应用，当用有误差的互耦测量值对互耦效应进行补偿时，会使阵列参数估计性能更加恶化。所以在实际工作中还要常常对互耦测量值进行不断地校正。

现有的种种阵列互耦校正技术［2－3］中，互耦矩阵的建模大多没有采用特殊的矩阵结构，而且由于互耦矩阵的自由度较大，通常的校正算法的参数空间维数很大，带来了庞大的运算量。文献［4］利用了均匀线阵特殊的矩阵结构，实现了均匀线阵的互耦自校正，但没能解决均匀圆阵的互耦问题。本文在文献［4］的基础上，基于均匀圆阵提出了一种互耦条件下方位估计与互耦自校正算法。

1 阵列结构和数据模型

1.1 阵列结构

L元均匀圆阵［5］，这里定义的均匀圆阵是指阵元均匀分布在圆周上的二维稀布阵，如图1所示，均匀圆阵的半径为r。

阵元在圆阵上的方位角为：

阵元位置为：

假设入射信号为窄带远场信号，方位角和俯仰角分别为θ、β，均匀圆阵的阵元数目为L，入射信号的波长为λ，则第k个阵元相对于参考阵元相位差为：

即导向矢量表示为：

相应地，阵列流型矩阵可以表示为：

图1 均匀圆阵结构图Fig.1 Str ucture of circular array

1.2 互耦条件下的阵列数据模型

阵列导向矢量建模时，通常假设各个阵元相对于其他阵元独立工作。然而阵元间的互耦效应在阵列天线的实际工作中常常是不可避免的，特别是阵元间距较小的阵列，阵元间的互耦效应更加明显。阵元存在互耦时，阵列导向矢量可修正为a～（θ，β）＝Za（θ，β），那么相应地，阵列流型矩阵可表示为：

式（6）中，矩阵Z为反映阵元互耦效应的互耦矩阵。通常情况下，阵元间的互耦效应与阵元间距成反比；间距相同的阵元对应的互耦系数相同。而对于均匀圆阵，它的互耦矩阵又具有特殊矩阵结构。

对于均匀圆阵，可以用一个带状循环矩阵进行建模［6］，如果阵列的互耦自由度为p，则循环矩阵的循环矢量可以定义为：

式（7）中，c（k）（k＝0，1，2，…，p－1）为阵元间互耦系数，c（0）表示阵元的自耦，其值为1。相应地对于自由度为3的5元均匀圆阵，其互耦矩阵可表示为：

存在互耦时，利用阵元间的互阻抗的概念进行研究，那么阵列最后的接收数据可以写成：

对应地，阵列接收数据的协方差矩阵可表示为：

式（10）中，Rs＝ E ［s（t）sH（t）］为信源的协方差矩阵，I为单位矩阵，σ2为噪声功率。

由子空间理论知识可知互耦存在时的MUSIC算法为：

2 算法描述

2.1 算法原理

对于互耦存在时的阵列导向矢量a～（θ，β），可以对其进行矩阵分解，使之成为两个矩阵的乘积，一个矩阵只含有方位信息，一个矩阵只含有互耦信息，如式（12）所示：

式（12）中，z＝ ［c（0） c（1） … c（p－1）］T表示互耦矩阵中的非零元素，即互耦系数向量；L×p的矩阵T［a（θ，β）］可以根据均匀圆阵互耦矩阵的带状循环特性可以表示为

这就实现了方位信息和互耦信息的解耦合。

由子空间原理有，当 （θ，β）＝ （θ1，β1），（θ2，β2），…，（θN，βN）时：

但是我们注意到，由于互耦的影响，用式（16）来估计信号到达方向进行搜索时，维数由不存在互耦时的二维变为N＋2p－2维，计算量太大，不利于工程实现。

但如将式（13）代入式（16），则有新的代价函数

设C（θ，β）＝TH［a（θ，β）T［a（θ，β）］。由于互耦系数不全为0，即z≠0，则式（17）成立的充要条件是矩阵C（θ，β）为奇异矩阵，可以看出C（θ，β）与互耦信息无关。一般情况下，rank C（θ，β［］）＝p，即C（θ，β）是满秩的，当且仅当（θ，β）为信号真实方向时C（θ，β）才是奇异阵。基于此原理，我们可以得到一种信号到达方向与互耦矩阵联合估计方法

或

式（19）中，λmin· 为求矩阵最小特征值的算子，det · 为求矩阵行列式的算子。

再利用估计出的方位角和俯仰角得到互耦系数：

式（20）中，emin· 为求矩阵最小特征值对应特征矢量的算子。

由以上分析可以看出，本算法的原理可以概括为：对互耦存在时的阵列导向矢量进行矩阵分解，使之成为方位信息矩阵T［a（θ，β）］与互耦信息矢量z的乘积，方位信息矩阵T［a（θ，β）］可以根据均匀圆阵互耦矩阵的特性重构，而互耦信息矢量z由p（p为互耦自由度）个未知的互耦系数组成。再根据子空间原理，构造新的代价函数，可以准确估计出信号的方位信息，再根据估计出的方位信息可以对互耦信息进行估计，进而实现互耦自校正。

2.2 算法步骤

根据以上的分析过程，现将基于均匀圆阵信号到达方向与互耦系数联合估计方法总结如下：

3）根据式（13）、式（14）、式（15）计算重构矩阵T［a（θ，β）］。

4）构造空间谱估计器

或

5）根据式（20）得到互耦系数的估计值z^。

通过上述分析，可以看出提出的自校正算法利用了均匀圆阵互耦矩阵的带状循环特性，对互耦存在时的阵列导向矢量a～（θ，β）进行重构，将耦合的方位俯仰参数（θ，β）和互耦系数矢量z“去耦”，根据重构出的矩阵构造新的代价函数，新的代价函数在（θ，β）为信号真实方向时才满足条件，因此可以得到新的谱估计器，对谱估计器进行搜索就可以得到方位信息，然后根据估计出的方位就可以估计出阵列的互耦信息。另外，当均匀圆阵的互耦自由度p取1时，该算法就退化为一般二维MUSIC算法。

3 仿真实验

下面用仿真实验验证本文提出的均匀圆阵互耦条件下的鲁棒DOA估计及互耦系数估计算法的有效性。设均匀圆阵如图1所示，均匀圆阵半径为0.3λ，阵元数目为5，互耦自由度为3，互耦系数矢量z＝［1，0.782 1＋0.258 3i，－0.457 6＋0.246 9i］，这里的互耦系数是随机选取的。

3.1 仿真1——互耦对均匀圆阵估计性能的影响

快拍数为100，信噪比为10 d B，两个独立源方位角分别为45°、60°，俯仰角分别为60°、30°。图2（a）给出互耦未知的MUSIC谱，图2（b）给出了互耦已知的MUSIC谱，图2（c）为本文算法计算出的谱。

图2 二维MUSIC谱Fig.2 2-D MUSIC spectr u m

图2 （a）表明互耦未知的情况下MUSIC的估计性能很差，基本失效。图2（c）表明本文提出的算法在互耦信息未知的条件下也可以准确地估计出信源DOA。

3.2 仿真2——算法的估计性能分析

本实验中独立信号源的方位角和俯仰角为45°、60°。图3（a）给出了方位角均方误差和信噪比的关系曲线，快拍数为200；图3（b）给出了方位角均方误差和快拍数的关系曲线，信噪比为5。

图3 方位角均方误差曲线Fig.3 Mean square err or cur ve of azi muth

图3 说明了本文提出的算法在随着信噪比和快拍数越来越大，估计性能越来越高，并趋于互耦已知情况下的估计性能。当快拍数大于300时，具有较高的估计精度。

3.3 仿真3——互耦系数的估计性能分析

表1给出了快拍数为100时，不同信噪比情况下互耦系数的估计结果。由于互耦系数矢量第一个元素为1，所以未考虑此值的估计情况。

表1 不同信噪比情况下互耦系数的估计结果Tab.1 Esti mates of coupling coefficient under different SNR

表1说明了当信噪比越来越大时，互耦系数的估计值越接近真实值，而且当信噪比大于5 d B时，均匀圆阵的互耦系数估计精度较高。

4 结论

本文提出了一种基于均匀圆阵的方位估计与互耦自校正算法。算法利用了均匀圆阵特殊的互耦特性，实现了对信号方位信息和阵列互耦信息的解耦合，将耦合的二维角与互耦系数联合估计问题转化为级联估计问题，避免了高维参数的非线性搜索。试验表明：提出的算法在互耦信息未知的条件能准确估计出信号的方位，同时还能估计出阵列的互耦信息，具有精度高，运算小的特点。研究成果对均匀圆阵的方位估计具有一定的理论意义和实际价值。

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