改陈出新 考查能力——2011年天津市中考数学试卷评析

443613 湖北省秭归县一支笔中学 郑学敏

443100 湖北省夷陵区实验初中 刘培双

改陈出新 考查能力
——2011年天津市中考数学试卷评析

443613 湖北省秭归县一支笔中学 郑学敏

443100 湖北省夷陵区实验初中 刘培双

2011年天津市初中毕业生学业考试数学试卷(以下简称“天津卷”)，坚持正面导向、紧扣课程标准、重点考查学生的数学能力.整卷共26小题，涵盖了初中数学基础知识和基本技能，关注社会生活实际和学生的动手操作能力，通过不同层次的考题全面考查了初中毕业学生的学习情况.

1 简单考题，彰显人文关怀

一般说来，学生在应对中考、高考这样对人生有影响的考试时，心里不免有些紧张是极为正常的.为了避免考生对中考的恐惧，减轻数学中考对考生造成的心理上的压力而影响考生考试的正常发挥，天津卷首先呈现两道极为简单的考题，让考生调整心理状态，稳定考试情绪，逐步进入正常考试状态，彰显了天津卷对考生的人文关怀.

第1题：sin45°的值等于

第2题：下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是

第1题只要学生从记忆中寻找答案，相当于完成一道乘法口诀题一样简单;第2题学生仅凭已有的生活经验就能解答.因此这两题非常简单，几乎所有考生都能顺利完成，对减轻考生的考试压力、及时调整心理状态，为考生正常发挥完成数学中考起到了关键性的作用.

2 关注社会，感受数学的应用价值

学生生活在社会之中，并且最终都会走向社会，让学生了解社会的发展状况，对他们的现在和未来都是极其重要的，因此，考题中关注社会生活实际是必须的.

第3题：根据第六次全国人口普查的统计，截止到2010年11月1日零时，我国总人口约为1370000000人，将1370000000用科学记数法表示应为

本题在考查科学记数法的同时，还向学生传递了两个重要信息：第六次人口普查的截止时间和我国现在约有人口总数.通过这个问题的解决，让学生受到国情教育.

像这样关注社会生活实际的数学内容，实际就是把学生从数学引入到社会生活的实践当中去，有着重要的现实意义.一方面可以拓展数学时空，使学生深刻领会数学学习不再仅仅是一堂数学课所学的内容，而是穿越时间的隧道，把过去、现在和未来的有关知识联系在一起，让学生拥有人类社会的精神财富;另一方面，将生活实际提供给学生理解和体验，可以提高学生对生活的深刻理解和深入感受，日益丰富学生的精神世界.

第24题：注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了—种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答.也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可.

某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件.市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件.请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?

设每件商品降价x元，每天的销售额为y元.

原价每件降价1元每件降价2元… 每件降价x元每件售价(元) 35 34 33…每天销量(件) 50 52 54…

(1)分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表;

(2)由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解.

此题考查二次函数的有关知识在市场经济中的应用.通过建立二次函数模型解决实际问题，让学生感受学习数学的价值，提高学生应用数学的意识，培养学生以后日常生活和工作中的决策能力.的距离BC(取 1.73.结果保留整数).

此题综合考查三角形外角和、等腰三角形的判定、解直角三角形在日常生活中的应用等数学知识.题设没有直接给出直角三角形，需要学生仔细领会题意构造出直角三角形求解，不仅让学生感受数学的应用价值，也考查了建立数学模型解决有关实际问题的能力.

3 考查数学思想方法，体现以学生为本

3.1 考查学生获取数学信息的能力

当今社会是信息社会，离开了信息，人们的生活和工作都会受到影响.有时信息就是商机，好的信息能使人们对事情作出正确的判断和决策.善于从各种形式的情景中获得有效的信息，是学生适应现代社会必需的能力.

第21题：在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：

又如第23题：某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景.如图，游轮出发点A与望海楼 B的距离为300m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向.游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向.求此时游轮与望梅楼之间

册数3 13 16 17 1 0 1 2 3 4人数

(1)求这50个样本数据的平均数，众数和中位数;

(2)根据样本数据，估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数.

这道考题要求学生从表格中准确获取信息，再根据平均数、众数和中位数概念求解第(1)题;第(2)题应先求样本数据中读书多于2册的人数占样本人数的比率，再用总人数乘以这个比率，即可估计出八年级300名学生中读书多于2册的人数，这是用样本估计总体思想的典型应用.

3.2 考查学生的动手操作能力

《数学课程标准》指出：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程.”简单地说，数学是过程!让学生参与有效的数学活动，在活动中学习数学知识，使学生明白数学知识的发生过程，正是课改所提倡的.

第5题：如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线 BD上，得折痕 BE，BF，则∠EBF的大小为

A.15° B.30°

C.45° D.60°

此题考查正方形和轴对称的有关性质，对大多数学生来说难度不大，可以直接解答，对解答此题有困难的考生来说，最好是按题中所说的操作方法动手实际折叠一下，有利于成功解答.

4 改陈出新，试题突显新意

将高考题做适当的改编，使其符合初中学生的认知规律，用于考查学生的能力，是本卷的一个突出亮点.1979年的数学高考题：

已知(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x，y，z成等差数列.

此题的题设初中学生非常熟悉，但不知什么是等差数列，所以初中学生不会做.天津卷保持原高考题的条件不变，将问题改成探索x，y，z之间另外的数量关系，便有了第10题：

若实数 x，y，z满足(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，则下列式子一定成立的是

A.x+y+z=0 B.x+y-2z=0

C.y+z-2x=0 D.z+x-2y=0

改编后，题目虽然难度不小，但用于考查初中毕业学生的数学能力是合适的，也是可取的.

解法1 将已知等式的左边展开、合并同类项，利用分解因式的知识和非负数的性质得出x，y，z之间的数量关系，具体解法如下：

解法2 通过观察不难发现，x-z=(x-y)+(yz)，用好这个发现就有比解法1更简洁的解法.

故选D.

解法3 观察已知等式的左边，发现其结构类似于某个一元二次方程的根的判别式，根据这一发现可以用一元二次方程的知识求解，具体解法如下：

因为(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，所以此方程有两个相等的实数根，

所以 -(x-y)=-(y-z)，即 x+z-2y=0.

上述三种解法，都符合现行初中毕业学生的认知水平和数学能力，但对学生的能力要求是相当高的.第1种解法，比较常规，有一定的难度;第2种解法，思路简洁，但技巧性强;第3种解法，能力、技巧俱全，富有创新性思维的特点.因此，此题不仅突出考查学生的数学能力，而且具有较强的选拔功能，是一道改陈出新的优秀中考题.

值得指出的是，构造一元二次方程时，不要构造成(x-y)t2+(x-z)t+(y-z)=0的形式，因为题设中没有x-y≠0的条件，所以不能保证这个方程是一元二次方程，根的判别式在这里也就不能发挥其重要作用了.

5 突出选拔功能，促进学生的发展

新课程改革后，各地的初中毕业考查和升学考试基本上都是采用同一套试题，由于要收到毕业考查和升学考试的双重功效，因此，部分试题有较强的选拔功能，天津卷每年都有两道压轴题，为高中学校录取学生提供成绩依据.

第25题：在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点 A(3，0)，B(0，4).以点 A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋转，得△ACD.记旋转转角为α，∠ABO为β.

(1)如图1，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标;

(2)如图2，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系;

图2

图1

(3)当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式(直接写出结果即可).

此题以学生对几何图形旋转的认识、旋转的性质的理解为基点，综合考查相似形、全等形、方程组等数学知识以及推理论证、计算等数学能力.

天津卷近五年第25题都考查图形变换：2007年平移，2008年旋转，2009年折叠，2010年轴对称，2011年旋转，但2011年第25题的难度明显低于往年.

第(1)题考查抛物线顶点坐标的求法，很基础;第(2)题设计了两问，第①问比较简单，第②问难度增加了不少，但它是①的一般情况，由特殊到一般进行探究，学生的思路不会受阻;第(3)题考查抛物线的平移、函数与不等式(组)的关系，难度大，有很好的区分度.

天津卷近五年第26题题型：2007年，2008年，2009年都是一元二次方程与二次函数的综合;2010年，2011年，都是抛物线的平移及相关知识的整合.近五年来，第26题的难度基本平衡，没有明显的起伏.

综合起来看2011年天津卷：

2011年的天津卷植根《数学课程标准》、源于数学教科书，全面考查了《数学课程标准》规定的义务教育阶段的数学核心内容.试题起点低，难度分布合理科学，呈现方式丰富多彩，既注重基础知识的考查，又能改陈出新考能力;既关注学生学习数学的活动过程、活动经验的考查，又关注学生在学习过程中的变化和发展;关注学生的心理特点，体现人文精神.因此，2011年的天津卷是一套优秀的中考数学试卷，值得广大数学教师在教学中认真开展教学研究和中考命题人借鉴使用.

20110715)