钢筋混凝土简支梁固有频率的数值计算

杨 斌 谷淡平

0 引言

钢筋混凝土承弯梁是实际工程中常见的重要构件，其损伤的识别、监测对于确保整个构筑物的安全，评估其服役状态，都具有重要的意义。深入了解钢筋混凝土梁的振动特性，是采用动力破损评估法对其损伤进行辨识、监测的前提和基础[1］。

本文通过振型函数导出了求解梁横向振动固有频率的微分方程，在基于组合梁理论的基础上推导了完整钢筋混凝土梁固有频率的计算公式，通过对实际简支梁进行动力试验，证实了相关理论和计算公式的正确性，能较好的满足工程需要。

1 简支梁固有频率的计算

梁在横向荷载作用下，在长为l的梁的轴向(x方向)处用相距无限小的dx两横向截面截取一微段，设 y(x，t)，θ(x，t)，M(x，t)和Q(x，t)分别表示梁的x截面处在t时刻的挠度、转角、弯矩和剪力。它们必须满足以下微分关系[2］:

其中，EI(x)，ρl(x)分别为所取微段处的截面抗弯刚度和单位长度的质量。

从式(1)可以得出:

由于梁在任一点、任一时刻的挠度可表示为无数简谐振动下挠度的叠加，利用分离变量法[3］，设第m阶简谐振动的频率是ωm，再设Tm(t)，Ym(x)分别为振幅函数和振型函数，则在一定边界条件下式(4)的解可表示为[4］:

由于挠度函数y(x，t)具有与时间无关而确定的振型特性[5］，为求出各种振型函数对应的频率，取y(x，t)=(Acosωt+Bsinωt)Y(x)，代入式(4)可得:

式(6)即为求解梁横向振动固有频率的微分方程。

由于EI(x)和ρl(x)在任何截面都相等，则式(6)为四阶常系数齐次线性微分方程，求出其通解后根据边界条件得出积分常数的关系，从而可求出固有频率ω。

根据简支梁的边界条件，由Y(0)=0有:C1+C2+C3=0;由M(0)=Y″(0)=0 有:C1+C2-C3=0，从而 C3=0。再由 Y(l)=0有:C1ekl+C2e-kl+C4sinkl=0;由 M(l)=Y″(l)=0有:C1ekl+C2e-kl-C4sinkl=0，从而C4sinkl=0，显然 C4不能为0，否则只有平凡解，从而 sinkl=0，故有 kl=nπ(n=1，2，3…)，得出简支梁固有频率为:

2 固有频率参数值计算

钢筋混凝土梁的横截面如图1所示，不计架立钢筋与箍筋。钢筋混凝土梁可以视作钢筋与混凝土两种材料的组合梁，按照材料力学的基本原理[6］，横截面上轴力为零，由面矩关系解出中性轴位置坐标:

其中，Ec为混凝土弹性模量;Es为钢筋弹性模量;As为钢筋横截面积，梁的几何尺寸标示于图1中。

图1 梁横截面几何参数

根据组合梁的理论，钢筋混凝土梁横截面的折算刚度为:

沿梁长度方向取一梁的微段，长度为dx，则此微段的质量为:

此微段的体积为:dV=bhdx。

所以得到折算密度为:

式中:ρs——钢筋密度;

ρc——混凝土密度。

将式(9)和式(10)代入式(7)可以得到完整钢筋混凝土简支梁的固有频率计算式:

其中，A为梁的横截面积，A=bh。

3 钢筋混凝土简支梁的动力测试

3.1 试验梁的参数值

试验梁的物理参数及几何尺寸如表1所示。根据表中的参数值代入式(11)，可以计算出健康的钢筋混凝土梁的前四阶固有频率。

表1 试验梁的参数值

3.2 试验测试及方法

试验测试系统采用杭州亿恒科技有限公司的AVANT动态信号测试分析仪，该系统采用锤击法对试件施加瞬态脉冲激励，计算机用专用信号处理软件对激励及响应信号进行分析，从而得到系统的传递函数。

本试验在梁上布置若干测点，采用多点激励，单点测响应信号的方法采集试验数据。

振动测试示意图如图2所示。

图2 振动测试示意图

3.3 试验结果

将采集到的频响数据导入ME′scopeVES可视化模态分析软件中，采用峰值拾取法[7］，识别出梁的固有频率。试验实测结果如表2所示。

表2 固有频率理论值及实测值

4 结语

梁的横向振动固有频率的计算在实际工程中有极其重要的意义，通过振型函数导出了求解梁横向振动固有频率的微分方程，在基于组合梁理论的基础上推导了完整钢筋混凝土梁固有频率的计算公式，并通过试验进行了验证。加深了对固有频率的认识和理解，为进一步研究结构振动分析打下基础。

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[3]胡嗣柱，倪光炯.数学物理方法[M］.第2版.北京:高等教育出版社，2002.

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[7]曹树谦，张文德，萧龙翔.振动结构模态分析[M］.天津:天津大学出版社，2001.