敦煌算经九九表探析

张小虎

(西北师范大学敦煌学研究所，甘肃兰州 730070)

敦煌算经九九表探析

张小虎

(西北师范大学敦煌学研究所，甘肃兰州 730070)

敦煌算经文书中存有九九表的文书共有12件.这些九九表中的“都”、“文”等字词具有特定的含义；九九表中的记数符号在唐、五代时期敦煌地区的使用已较广泛，它们与黑水城文书及《潜虚》中的记数符号存在相关性；九九表中的一系列大写数字的出现是唐、五代时期敦煌、吐鲁番两地贸易兴盛和人员往来交流不断的体现；九九表的句数与排列顺序表明宋朝以前的九九表总体上具有比较稳定的内容与顺序.

敦煌算经；九九表；社会信息

九九表，又称九九歌、九因歌，是我国古代数学运算中进行乘除、开方等用的基本运算规则表.对九九表，秦汉典籍多有记载，唐宋间又引伸为数学的代称.20世纪初发现于我国甘肃敦煌莫高窟（敦煌研究院编号第17窟）的一批5 – 10世纪的算经文书中亦有九九表多件.关于敦煌算经文书中的九九表，学术界已有一些相关介绍和论述①参见: 文献[11,18]; [比]李倍始. 敦煌千佛洞算书手抄本[C]// 李国豪, 张孟闻, 曹天钦. 中国科学史探索: 中文版. 刘祖慰, 译. 杜石然, 校. 上海: 上海古籍出版社, 1986: 205-230; 李并成. 从敦煌算经来看我国唐宋时代的初级数学教育[J]. 数学教学研究, 1991, (1): 39-42; 王进玉. 敦煌遗书中的数学史料及其研究[C]// 李迪. 数学史研究文集: 第2辑. 呼和浩特: 内蒙古大学出版社, 1991: 58-65; 王渝生. 敦煌算书[C]// 郭书春. 中国科学技术典籍通汇: 数学卷: 一. 郑州: 河南教育出版社, 1993: 401-420; 刘钝. 九九表[C]// 季羡林. 敦煌学大辞典.上海: 上海辞书出版社, 1998: 601.，但多数研究为提要性质或仅就其内容本身论述，而对其所透露的社会信息则少有论及；并且这些研究多为20世纪80 – 90年代所作，受资料所限，各家所涉敦煌算经文书九九表的件数也很有限.近年来，随着诸多敦煌文献图版的陆续编辑、出版②截止2010年, 《英藏敦煌文献》、《法藏敦煌西域文献》、《俄藏敦煌文献》、《上海博物馆藏敦煌吐鲁番文献》、《天津艺术博物馆藏敦煌文献》、《北京大学图书馆藏敦煌文献》、《甘肃藏敦煌文献》和《浙藏敦煌文献》等都已出齐,《中国国家图书馆藏敦煌遗书》正在出版(预计出版150册, 现已出版127册). 2009年10月, 日本武田科学振兴财团、杏雨书屋先期出版了《敦煌秘笈》目录及图录第 1册, 其余部分以后将陆续出版. 经过百年的努力, 目前有关敦煌文献的刊布工作基本完成.，对敦煌算经文书中的九九表做全面检索、系统专题研究的时机也已基本成熟.笔者不揣浅陋，拟在前人基础上，试对敦煌算经文书中的九九表做一较系统的专题论述.不当之处，还请方家指正.

据笔者初步查检，敦煌算经文书中提及九九表者共有 12件，它们的编号依次为 S.19[1]、S.930v[2]、S.4569[3]、S.6167v[4]、S.8336v[5]、P.3349[6]（此件含九九表两处）、P.2502v[7]、P.3102v[8]、P.T.1256①原件现藏巴黎法国国家图书馆, 已收录在1978及1980两年在巴黎出版的由麦克唐纳夫人和今支由郎编辑并加注记的《敦煌吐蕃文书选集》影印本（单页集装）第一辑中. 参见: 文献[18].、俄Дⅹ.2145v[9]、俄Дⅹ.2904[10]和羽 037R（即敦散226）②参见: [日]武田科学振兴财团杏雨书屋. 《敦煌秘笈》影片册1. 2009: 248. 笔者所依据的是于2010年10月从敦煌研究院文献所得到的《敦煌秘笈》第1册电子扫描图录本, 在此衷心向敦煌研究院文献所表示感谢..可见的12件九九表除S.930v、S.4569和P.3349保存完整外，其余均为残表.具体而言，S.4569全，计7行，始“九九八十一”迄“一一如一”，总45句；S.6167v残，9行，存“九九八十一”迄“一九如九”句；S.8336v残，倒写，计5行，存“六九五十四、五九四十五、四九□□□、□□六十三、七八五十六、六□□□□、□□□十四、二八一十六、一八如□、□七三十五、四七二□□、□□□七、六六三十六、五□□□□”句；P.2502v残，9行，存“九九八十一”迄“一三如三”句.P.3349、S.19同属一书，可相互校补.S.19存“九九八十一”迄“七八五十六”句，所缺句可依 P.3349补全；羽037R残，存“五八四十”迄“二四如八”句.值得注意的是S.19、P.3349和羽037R每句口诀后别列“自相乘”、“分之”句（部分后缺“分之”句），如“九九八十一，自相乘得六千五百六十一，九人分之得七百二十九”、“二六十二，自相乘得一百卌四，二人分之人得七十二”等，这是我国其它算经所不载的.在被乘数、乘数相同句则记“某某一”，其后用“凡总得”句小结口诀内部每段之和，如“九九一，凡总得三百九十六，自相乘得一十五万六千八百一十六”、“八八一，凡总得二百八十，自相乘得七万八千四百”等，这也是一种独创.许康认为S.19书写于唐或五代，写于五代的可能性更大[11].P.3349背面为学生习字书，残存10余行，多系常用字，如吾、及、在、也……等.九九表与习字书同出一件，表明其可能是用于学校或家塾教育的初级数学课本.S.930v全，自“九九八一”迄“一一如一”，此表最重要的特点是：每句口诀的乘积都用算筹记数法表示于后；被乘数、乘数相同句后出现“直下”，其它各句后出现“通前”，记各句乘积之和，如“九九八一直下八十一”、“七八五十六通前一百廿十文”等.表末则记有“都计得一千一百五十五文”句.此表抄写于道经纸背，下接《河西都僧统悟真百岁书并序》，则此九九表抄写年代当在晚唐以后.俄Дⅹ.2904残，3行，存“□廿、三五□□、□□十二、二四如八、一四□□、□□如四、一二如二”句.俄Дⅹ.2145v残，7行，存“九九八十一”迄“一三如三”句.P.3102v分四部分，第四部分倒写，卷末存“贰玖拾捌、叁玖贰拾柒、肆玖叁拾陆、伍玖肆拾伍、陆玖伍拾肆、柒玖陆拾叁、捌玖柒拾贰、玖玖捌拾壹”8句，系大写数字书写，此文书的正面为《开蒙要训》，《开蒙要训》是唐、五代时在敦煌地区被广为传抄的启蒙读物，而此九九表抄写于《开蒙要训》的背面，当亦为唐、五代时作.P.T.1256是一篇用藏文音译汉字的乘法九九表，原文全为藏文，无标题，末署抄写人姓名，横书8行，从“九九八十一”迄“一一如一”句.综上所述，12件九九表均系唐宋写本，全用毛笔抄写，其字体多为自由体行书，亦有少量为草书，书写水平大多不高.它们是我国现存最早的纸卷算书九九表.

通过对敦煌算经中12件九九表的粗略考察，笔者注意到九九表中可关注者有以下数端：

1 敦煌算经九九表中若干字词的训释

S.930v九九表末记有“都计得一千一百五十五文”句，表中多句后亦出现“文”字，如“通前四百五文”、“前一百廿十文”等.“都”、“文”二字当做何解？若将S.930v九九表中每句口诀得数依次相加，即“81+72+63+……+4+2+1”的总和恰为一千一百五十五，这正与S.930v九九表末记数相符.考诸秦汉简牍，我们发现里耶秦简九九表末、敦煌汉简九九表末均记有同类语句.如里耶秦简九九表末记有“凡千一百一十三字”[12]句；敦煌汉简2170号九九残表末也记“大凡千一百一十三”[13]句，将表中每句口诀得数依次相加亦合表末所记之数.由此我们不难看出“都”、“凡”和“大凡”都应是“总”的意思.然“文”字不仅见于S.930v九九表末，尚见于表中另外七处，而大多数口诀后则多省“文”字，这又该作何解？我们发现 S.930v九九表每句口诀后都用筹算表示出其乘积得数，而“文”字又每置于筹算结果后；且表中八个“文”的使用又呈现出很大随机性，毫无规律可循，去掉该字亦丝毫不影响阅读.因此我们有理由相信：“文”当是一种表示数量的筹算单位.考之中国数学史，早在春秋战国时，筹算已普遍应用，九九表也已相当普及，故敦煌算经中的九九表多省“文”字亦不足为奇了.

S.930v九九表于被乘数、乘数相同句后每有“直下”一词，被乘数、乘数不相同句后每见“通前”二字.据文意来看，“直下”大约为“从这里开始计算”，似还起到给九九表“分段”的作用；“通前”则无疑应是指各句乘积的递相累加.P.3349、S.19九九表每句后记有将各句得数分为九类、次第相加的详细过程，表末则记有各口诀乘后所得数字相加的总和，其中出现了“自相乘”、“分之”二词.“自相乘”的数学概念即现代数学名词“平方”，“分之”则是现代数学中的“被除”.这种含“直下”、“通前”、“自相乘”和“分之”的九九表正是在中原算经中少见的数学模式.敦煌算经九九表每句下附筹算数字，并将逐句得数累加，又进一步对 45句乘积分别作自乘和除法，可以认为这是对筹算初学者的基本训练，颇有助于初学者提高乘、除和加法的运算能力；这还可能与当地民众生活方式有关，当他们进行货物交易、土地丈量及买卖时，这些“通前”、“自相乘”和“分之”所列举的值可能就常被用来查检.

2 敦煌算经九九表中的记数符号

算经S.930v、P.3349九九表在每句口诀后依算筹形式别列数码，可以看出这些记数符号是作为正文出现的，抄写者把它作为文字的辅助部分以使数字更加形象.所见其数码分纵横两式：“一”用一横或一竖来表示；“二”用并列的两横或两竖表示；“三”、“四”和“五”依次类推；“六”记作“”或“”，即用上（下）面的一横代表五，横下（上）的一竖代表“一”；“七”、“八”、“九”则依“六”类推.还可以看到，这些筹算数码中无“零”的符号.中间有“0”的数字，用空位来表示“0”，如“405”被表示成“”；若末尾有“0”的数字，则根据“凡算之法，先识其位”，通过定位来表示，如“40”被表示成“”.关于筹算的方法，《孙子算经》云：“凡算之法，先识其位.一纵十横、百立千僵、千十相望、万百相当”[14]，《夏侯阳算经》又补充了“满六以上，五在上方；六不积算，五不单张”[15].“凡算之法，先识其位”阐明了数位在记数中的重要意义；后面几句则阐明筹算记数的规则.敦煌算经九九表中的筹算数码可以说是《孙子算经》和《夏侯阳算经》记数法的具体表现.而表中数字记数与算筹记数同时使用，则可能是为便于更多的人认识文书的内容，这反映出唐、五代敦煌地区记数符号的使用已较广泛，但可能也反映出敦煌当地普通百姓文化水平相对较低的社会现实.这些九九歌可能还具有教育意义，杨秀清推论敦煌学生学习的价值取向当受科举制影响[16].因此，敦煌算经九九表出现算筹形式应属合宜的社会情形.

然而使用计数符号并非敦煌算经九九表所独有.在黑水城出土的西夏借粮契约和元代赋税文书中，也有以符号来记录粮食数量和种类的例子.值得注意的是黑水城文书中还出现圆圈、三角和十字这些独有的符号.而在北宋时与敦煌算经九九表不同的是“五”的符号.《潜虚》中用“×”代替敦煌算经中笔画较多、难辨识和读写且易于出错的“”[17].虽然它们在符号的具体含义上呈现出各自不同的时代特征，但在一定程度上都体现了与敦煌算经中的记数符号的相关性.另外，P.T.1256中也有关于记数符号的文字记载和具体应用.P.T.1256从藏文书法判断当写于吐蕃时期[18].可见吐蕃时期九九表已传入藏族，这也反映出藏、汉民族思想文化交流之早和渊源之深.

3 敦煌算经九九表中的一系列大写数字

敦煌算经所见九九表大部分系笔画简单的小写数字书写，而P.3102v卷末出现一件用“贰”、“叁”等大写数字书写的九九表.这种大写数字书写的九九表并不只见于敦煌算经，也见于吐鲁番出土文书.如60TAM316:08/1(b)《古抄本乘法诀》即为一大写数字书写的九九表[19].原表大部分残缺，仅存6句，其中就有“拾”、“究”（玖）、“拔”（捌）、“柒”、“法”（陸）、“伍”、“叁”、“贰”、和“壹”九个大写数字.考之敦煌和吐鲁番出土的唐代文书，可看出凡会计账目、借贷契约的钱物数量、规格乃至期限等事项，都已普遍使用大写数字记录.如敦煌文书 P.3348v《唐天宝四载（公元七四五年）河西豆卢军和籴会计牒》：“……三载冬季交籴纳，准估计当钱壹阡伍伯柒拾伍贯玖伯伍文.伍阡肆伯伍硕捌斗叁胜柒合栗，斗估廿七文，计壹阡肆伯伍拾玖贯伍伯柒拾陸文.……”[20]426-427吐鲁番文书 73TAM506:4/12《唐蒋玄其等领钱练抄》：“(前缺)大练贰伯叁拾伍疋贰丈肆尺充药直.……”[21]借贷契约也举两例，如敦煌文书P.3453《辛丑年贾彦昌贷生绢契》：“辛丑年十月廿五日，贾彦昌缘往西州充使，遂于龙兴寺上座心善面上贷生绢壹疋，长叁拾柒尺贰寸，幅壹尺捌寸.又贷帛花绵绫壹疋，长贰丈叁尺陸寸，幅壹尺玖寸半.自贷后，西州回日还，利头好立机两疋，各长贰丈伍尺.……本物限入后壹月还纳.”[22]吐鲁番文书64TAM4:34《唐龙朔元年（公元六六一年）龙惠奴举练契》：“龙朔元年八月廿三日，安西乡人龙惠奴于崇化乡人右（左）憧惠边举取练叁拾疋，月别生利练肆疋.其利若出月不还，月别罚练壹疋入左.”[23]可以看到在上述出土的唐代文书中从“壹“到“拾”的大写数字一应俱全.由此可见，经过人们长期研究，到了唐朝，在约定俗成的基础上，已经形成了一套完整的用“壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾”来表示“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十”意义的大写数字.以往多认为开始使用“壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾”等商业用字始于宋，其实不然.《诗经》已以“壹”代“一”，《孟子》用“贰”代“二”，《考工记》用“叁”代“三”，《墨子》用“漆”代“七”，全面使用则是在唐代.唐代因官私手工业和商业的发展需要，小写数字，笔画简单、易于涂改，故多改为大写.迨入宋代，官府文书用大写数字记数已成定制.这种大写的商业数字今天仍被广泛使用于金融商业中，被称为“会计体”.

吐鲁番地区古称高昌，唐时称为西州，敦煌与吐鲁番之间的交往由来已久.著名的大海道即为连接二地间的丝路故道，在历史上曾起过非常重要的作用.S.0113《西凉建初十二年正月敦煌郡敦煌县西宕乡高昌里籍》残卷出现“高昌里”，李并成认为其位于敦煌绿洲的最西北部，由此向西北穿过约五百余公里的戈壁、沙滩即达高昌[24].P.2009《西州图经残卷》记：“大海道，右道出柳中县界，东南向沙州一千三百六十里，常流沙，人行迷误，有泉井咸苦，无草，行旅负水担粮，履践沙石，往来困弊.”[20]54唐西州柳中县即高昌郡田地县（治所在今吐鲁番市东南约50公里的鄯善县鲁可沁），沙州即敦煌.往来敦煌、吐鲁番两地，其路途虽艰险困苦，但大海道较为顺直、行程最短.迄唐、五代时期，大海道沿用未辍，为西州东通中原必经要路.敦煌和吐鲁番文书中都发现这种用大写数字抄写的九九表，无疑当是唐、五代敦煌、吐鲁番地区经济繁荣、商业贸易兴盛和人员往来交流不断的时代烙印.

4 敦煌算经九九表的句数和排列顺序

钱宝琮指出：“现在的乘法口诀是从‘一一如一’起到‘九九八十一’止，共四十五句.古代的乘法口诀是从‘九九八十一’起到‘二二如四’止，只有三十六句.”[25]但敦煌算经九九表却与此说不符.可以看出，敦煌算经九九表的句数有45句（如S.4569、P.3349等）和36句（如S.19等）两种.45句者从“九九八十一”到“一一如一”句，与《孙子算经》中的九九表规格相同；36句者则缺“一九如九”到“一一如一”九句.事实上目前所见我国古代的九九表除敦煌算经有45句、36句外，尚有38句者.2002年出土于湖南龙山里耶的秦简九九表保存完整，其句数既非36句，也非45句，而是38句.里耶秦简九九表中亦缺“一九如九”到“一一如一”九句；但多了“一一而二”、“二半而一”两句，颇具特色.王焕林认为“一一而二”句当作“1+1=2”解，“二半而一”应视为分数运算[26].可以看到，除P.3102v外，其余各九九表（残缺者据补全后）首句均起于“九九八十一”，依次则被乘数渐次变小，止于二，有的则止于一；再为八八相乘，依次类推，止于“一一如一”或“二二如四”.P.3102v则由小到大依次排列，与其它九九表排列顺序正好相反.还可看出，以上各表均为“小九九”，因为表中有“八九七十二”而无“九八七十二”；有“七九六十三”而无“九七六十三”，余句类推.考诸出土秦汉简牍可知：除里耶秦简九九表外，尚有张家界古人堤汉简、敦煌汉简、居延汉简、居延新简和楼兰文书九九表.综合考察以上各九九表则可看出：唐宋以前之九九表总体上具有比较稳定的内容与顺序；同时一份完整的九九表应该还有各句口诀得数依次相加所得之和.

以上粗略讨论了敦煌算经九九表的特征及其透露出的社会信息.这些富有特色的九九表从一个侧面为我们管窥唐、五代和宋初敦煌地区的经济、文化和社会提供了有益的信息.

[1]中国社会科学院历史所, 中国敦煌吐鲁番学会敦煌古文献编辑委员会, 英国国家图书馆, 等. 英藏敦煌文献:汉文佛经以外部分: 第1册[M]. 成都: 四川人民出版社, 1990: 16.

[2]中国社会科学院历史所, 中国敦煌吐鲁番学会敦煌古文献编辑委员会, 英国国家图书馆, 等. 英藏敦煌文献:汉文佛经以外部分: 第2册[M]. 成都: 四川人民出版社, 1990: 201-204.

[3]中国社会科学院历史所, 中国敦煌吐鲁番学会敦煌古文献编辑委员会, 英国国家图书馆, 等. 英藏敦煌文献:汉文佛经以外部分: 第6册[M]. 成都: 四川人民出版社, 1992: 138.

[4]中国社会科学院历史所, 中国敦煌吐鲁番学会敦煌古文献编辑委员会, 英国国家图书馆, 等. 英藏敦煌文献:汉文佛经以外部分: 第10册[M]. 成都: 四川人民出版社, 1994: 126-127.

[5]中国社会科学院历史所, 中国敦煌吐鲁番学会敦煌古文献编辑委员会, 英国国家图书馆, 等. 英藏敦煌文献:汉文佛经以外部分: 第12册[M]. 成都: 四川人民出版社, 1995: 113.

[6]上海古籍出版社, 法国国家图书馆. 法藏敦煌西域文献: 第23册[M]. 上海: 上海古籍出版社, 2002: 277-279.

[7]上海古籍出版社, 法国国家图书馆. 法藏敦煌西域文献: 第14册[M]. 上海: 上海古籍出版社, 2001: 356.

[8]上海古籍出版社, 法国国家图书馆. 法藏敦煌西域文献: 第21册[M]. 上海: 上海古籍出版社, 2002: 313.

[9]俄罗斯科学院东方研究所圣彼得堡分所, 俄罗斯科学出版社, 上海古籍出版社. 俄藏敦煌文献: 第9册[M]. 上海: 上海古籍出版社, 1998: 47.

[10]俄罗斯科学院东方研究所圣彼得堡分所, 俄罗斯科学出版社, 上海古籍出版社. 俄藏敦煌文献: 第 10册[M].上海: 上海古籍出版社, 2006: 119.

[11]许康. 敦煌算书透露的科学与社会信息[J]. 敦煌研究, 1989, (1): 96-103.

[12]湖南省文物考古研究所, 湘西土家族苗族自治州文物处, 龙山县文物管理所. 湖南龙山里耶战国: 秦代古城一号井发掘简报[J]. 文物, 2003, (1): 4-35.

[13]罗振玉, 王国维. 流沙坠简[M]. 北京: 中华书局, 1993: 92.

[14]佚名. 孙子算经: 卷上[C]// 甄鸾, 王孝通, 韩延, 等. 算经十书. 钱宝琮, 校点. 北京: 中华书局, 1963: 282.

[15][唐]韩延. 夏侯阳算经: 卷上[C]// 甄鸾, 王孝通, 韩延, 等. 算经十书. 钱宝琮, 校点. 北京: 中华书局, 1963: 558.

[16]杨秀清. 浅谈唐、宋时期敦煌地区的学生生活: 以学郎诗和学郎题记为中心[J]. 敦煌研究, 1999, (4): 137-146.

[17][宋]司马光. 潜虚[C]// 新文丰出版公司编辑部. 丛书集成新编: 第24册. 台北: 新文丰出版公司, 1986: 317.

[18]华侃. 敦煌古藏文写卷《乘法九九表》的初步研究[J]. 西北民族学院学报: 社会科学版, 1985, (3): 45-55.

[19]国家文物局古文献研究室, 新疆维吾尔自治区博物馆, 武汉大学历史系. 吐鲁番出土文书: 第3册[M]. 北京:文物出版社, 1981: 366.

[20]唐耕耦, 陆宏基. 敦煌社会经济文献真迹释录: 第1辑[M]. 北京: 书目文献出版社, 1986.

[21]国家文物局古文献研究室, 新疆维吾尔自治区博物馆, 武汉大学历史系. 吐鲁番出土文书: 第10册[M]. 北京:文物出版社, 1991: 29.

[22]中国科学院历史研究所资料室. 敦煌资料: 第1辑[M]. 北京: 中华书局, 1961: 371.

[23]国家文物局古文献研究室, 新疆维吾尔自治区博物馆, 武汉大学历史系. 吐鲁番出土文书: 第6册[M]. 北京:文物出版社, 1985: 408.

[24]李并成. 西凉敦煌户籍残卷(S.0113)若干问题新探[J]. 敦煌学, 2004, (25): 195-203.

[25]钱宝琮. 中国数学史[M]. 北京: 科学出版社, 1964: 10.

[26]王焕林. 里耶秦简九九表初探[J]. 吉首大学学报: 社会科学版, 2006, (1): 46-51.

Analysis of Multiplication Tables in Dunhuang Mathematical Classics

ZHANG Xiaohu
(Institute of Dunhuangology, Northwest Normal University, Lanzhou, China 730070)

In Dunhuang Mathematical Classics, there are 12 pieces of documents including the Multiplication Table. In these tables, words like 都 (total) and 文 (quantitative unit) had their specific meanings. The numeration symbols of the Tables had been widely used in Dunhuang area during the Tang Dynasty and the Five Dynasties Period. And they had certain relationship with the numeration symbols used in Khara-khoto document and inQian Xu(a book of exploring the secret origin). The appearance of a series of capital numerals in the Tables was a typical reflection of the flourished trade and on-going personnel communications between Dunhuang and Turpan areas during the Tang Dynasty and the Five Dynasties Period. The amount of sentences in the Tables and its orders show that the contents of the Tables and their orders are in general stable before the Song Dynasty.

Dunhuang Mathematical Classics, Multiplication Table, Social Information

(编辑：朱青海)

K05

A

1674-3563(2011)02-0001-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2011.02.001 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2010-11-08

张小虎(1983- )，男，甘肃庆阳人，硕士研究生，研究方向：敦煌学